2021長沙理工大學高等數學研究生參考書目及考試大綱 正文

科目代碼：601 科目名稱：高等數學
 
一、考試要求
考生應系統(tǒng)地理解高等數學中函數、極限和連續(xù)、一元函數微分學、一元函數積分學、向量代數與空間解析幾何、多元函數微積分學、無窮級數、常微分方程的基本概念與基本理論；學會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應注意各部分知識的結構及知識的內在聯(lián)系；應具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、數學運算能力、空間想象能力；能運用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理，準確地計算；能綜合運用所學知識分析并解決工程和生活中的實際問題。
 
二、考試內容 
1、函數和極限
函數的概念及表示法，函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性，復合函數、反函數、分段函數和隱函數，基本初等函數性質及其圖形。
數列極限與函數極限的定義以及它們的性質，無窮小和無窮大的概念及其關系，無窮小的性質及無窮小的比較，極限的四則運算，極限存在的兩個準則（單調有界準則和夾逼準則）兩個重要極限。
 函數連續(xù)的概念，函數間斷點的類型，初等函數的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)。
2、一元函數微分學
導數和微分的概念，導數的幾何意義和物理意義，函數的可導性與連續(xù)性之間的關系，平面曲線的切線和法線，基本初等函數的導數，導數和微分的四則運算，復合函數、反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法，高階導數的概念和求法，一階微分形式的不變性，微分在近似計算中的應用，洛爾(Rolle)定理，拉格朗日(Lagrange)中值定理，柯西(Cauchy)中值定理，泰勒(Taylor)定理，洛必達(L’Hospital)法則，函數的極值及其求法，函數單調性，函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線，函數圖形的描繪，函數最大值和最小值的求法及簡單應用，弧微分，曲率的概念，曲率半徑。
3、一元函數積分學
原函數和不定積分的概念，不定積分的基本性質，基本積分公式，定積分的概念和基本性質，定積分中值定理，變上限定積分定義的函數及其導數，牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式，不定積分和定積分的換元積、分法部積分法，有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分，廣義積分的概念和計算定積分的近似計算法，定積分的應用。
4、矢量代數和空間解析幾何
矢量的概念，矢量的線性運算，矢量的數量積和矢量積的概念及運算，矢量的混合積，兩矢量垂直、平行的條件，兩矢量的夾角，矢量的坐標表達式及其運算，單位矢量、方向數與方向余弦，曲面方程和空間曲線方程的概念，平面方程、直線方程，平面與平面、平面與直線、直線與直線的平行、垂直的條件和夾角，點到平面和點到直線的距離，球面，母線平行于坐標軸的柱面，旋轉軸為坐標軸的旋轉曲面的方程，常用的二次曲面方程及其圖形，空間曲線的參數方程和一般方程，空間曲線在坐標面上的投影曲線方程。
5、多元函數微分學
多元函數的概念，二元函數的幾何意義，二元函數的極限和連續(xù)的概念，有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數的性質，多元函數偏導數和全微分的概念，全微分存在的必要條件和充分條件，全微分在近似計算中的應用，多元復合函數、隱函數的求導法，高階偏導數，方向導數和梯度的概念及其計算，空間曲線的切線和法平面，曲面的切平面和法線，  二元函數的二階泰勒公式，多元函數極值和條件極值的概念，多元函數極值的必要條件，二元函數極值的充分條件，極值的求法，拉格朗日乘數法，多元函數的最大值、最小值及其簡單應用。
6、多元函數積分學
二重積分、三重積分的概念及性質，二重積分與三重積分的計算和應用，兩類曲線積分的概念、性質及計算，兩類曲線積分的關系，格林(Green)公式，平面曲線積分與路徑無關的條件，已知全微分求原函數，兩類曲面積分的概念、性質及計算，兩類曲面積分的關系，高斯(Gauss)公式，斯托克斯(Stokes)公式，散度、旋度的概念及計算，曲線積分和曲面積分的應用。
7、無窮級數
常數項級數及其收斂與發(fā)散的概念，收斂級數和的概念，級數的基本性質與收斂的必要條件，幾何級數與p級數以及它們的收斂性，正項級數收斂性的判別法，交錯級數與萊布尼茨定理，任意項級數的絕對收斂與條件收斂，函數項級數的收斂域，和函數的概念，冪級數及其收斂半徑、收斂區(qū)間(指開區(qū)間)和收斂域，冪級數在其收斂區(qū)間內的基本性質，簡單冪級數和函數的求法，函數可展開為泰勒級數的充分必要條件，一些常見函數的麥克勞林(Maclaurin)展開式，冪級數在近似計算中的應用，周期為的函數的傅里葉(Fourier)系數與傅里葉級數，狄利克雷(Dirichlet)定理，函數在[，]上的傅里葉級數，函數在[0，]上的正弦級數和余弦級數。
8、常微分方程
常微分方程的概念，微分方程的解、階、通解、初始條件和特解，變量可分離的方程，齊次方程，一階線性方程，伯努利(Bernoulli)方程，全微分方程，可用簡單的變量代換求解的某些微分方程，可降價高階微分方程，線性微分方程解的性質及解的結構定理，二階常系數齊次線性微分方程，高于二階的某些常系數齊次線性微分方程，簡單的二階常系數非齊次線性微分方程，歐拉(Euler)方程，包含兩個未知函數的一階常系數線性微分方程組，微分方程的冪級數解法，微分方程(或方程組)的簡單應用問題。
 
三、題型
試卷滿分為150分，其中：填空題、選擇題、簡答題約10—20分，計算題、證明題、論述題約130—140分。
 
四、參考教材
1．《高等數學》．同濟大學數學系編．高等教育出版社，2014年7月，第七版。
1．《高等數學》．張宏偉、劉文軍編．高等教育出版社，2014年2月，第一版。
 
 
 

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