2021福建師范大學高等數(shù)學（自）研究生考試大綱 正文

《高等數(shù)學（自）》考試大綱
 
第一部分  考試形式和試卷結(jié)構(gòu)
一、試卷滿分及考試時間
試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘．
二、答題方式
答題方式為閉卷、筆試．
三、試卷題型結(jié)構(gòu)
試卷題型結(jié)構(gòu)為：
（一）單項選擇題 ：8小題，每小題4分，共32分
（二）填空題：6小題，每小題4分，共24分
（三）解答題（包括證明題）： 9小題，共94分
第二部分  考試內(nèi)容和考試要求
一、函數(shù)、極限、連續(xù)
考試內(nèi)容
    函數(shù)的概念及表示法，函數(shù)的有界性，單調(diào)性，周期性和奇偶性， 復合函數(shù)，反函數(shù)，分段函數(shù)和隱函數(shù)，基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，初等函數(shù)，函數(shù)關系的建立．
    數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)，函數(shù)的左極限和右極限，無窮小量和無窮大量的概念及其關系，無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較， 極限的四則運算， 極限存在的兩個準則：單調(diào)有界準則和夾逼準則，兩個重要極限：
     
函數(shù)連續(xù)的概念，函數(shù)間斷點的類型，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)．
考試要求
1．理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會建立應用問題的函數(shù)關系．
2．了解函數(shù)的有界性，單調(diào)性，周期性和奇偶性．
3．理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念．
4．掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念．
5．了解數(shù)列極限和函數(shù)極限（包括左極限與右極限）的概念．
6．了解極限的性質(zhì)與極限存在的兩個準則，掌握極限的四則運算法則，掌握利用兩個重要極限求極限的方法．
7．理解無窮小的概念和基本性質(zhì)，掌握無窮小量的比較方法，了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關系．
8．理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型．
9．了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理．介值定理)，并會應用這些性質(zhì)．
二、一元函數(shù)微分學
考試內(nèi)容
    導數(shù)和微分的概念，導數(shù)的幾何意義， 函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系，平面曲線的切線與法線，導數(shù)和微分的四則運算， 基本初等函數(shù)的導數(shù)， 復合函數(shù)、反函數(shù)和隱函數(shù)的微分法，高階導數(shù)，一階微分形式的不變性，微分中值定理，洛必達（L'Hospital）法則，函數(shù)單調(diào)性的判別，函數(shù)的極值，函數(shù)圖形的凹凸性，拐點及漸近線，函數(shù)圖形的描繪，函數(shù)的最大值與最小值．
考試要求
1．理解導數(shù)的概念及可導性與連續(xù)性之間的關系，了解導數(shù)的幾何意義與經(jīng)濟意義（含邊際與彈性的概念），會求平面曲線的切線方程和法線方程．
2．掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，導數(shù)的四則運算法則及復合函數(shù)的求導法則，會求分段函數(shù)的導數(shù), 會求反函數(shù)與隱函數(shù)的導數(shù)．
3．了解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導數(shù)．
4．了解微分的概念，導數(shù)與微分之間的關系以及一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分．
5．理解羅爾( Rolle)定理，拉格朗日( Lagrange)中值定理，了解泰勒定理．柯西(Cauchy)中值定理，掌握這四個定理的簡單應用．
6．會用洛必達法則求極限．
7．掌握函數(shù)單調(diào)性的判別方法，了解函數(shù)極值的概念，掌握函數(shù)極值、最大值和最小值的求法及其應用．
8．會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性（注：在區(qū)間內(nèi)，設函數(shù)具有二階導數(shù)．當時，的圖形是凹的；當時，的圖形是凸的），會求函數(shù)圖形的拐點和漸近線．
9．會描述簡單函數(shù)的圖形．
三、一元函數(shù)積分學
考試內(nèi)容
    原函數(shù)和不定積分的概念，不定積分的基本性質(zhì)，基本積分公式，定積分的概念和基本性質(zhì)，定積分中值定理，積分上限的函數(shù)及其導數(shù)，牛頓一萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式,不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法，反常（廣義）積分，定積分的應用.
考試要求
1．理解原函數(shù)與不定積分的概念，掌握不定積分的基本性質(zhì)和基本積分公式，掌握不定積分的換元積分法和分部積分法．
2．了解定積分的概念和基本性質(zhì)，了解定積分中值定理，理解積分上限的函數(shù)并會求它的導數(shù)，掌握牛頓一萊布尼茨公式以及定積分的換元積分法和分部積分法．
3．會利用定積分計算平面圖形的面積，旋轉(zhuǎn)體的體積，會利用定積分求解簡單的應用問題．
4．了解反常積分的概念，會計算反常積分．
四、多元函數(shù)微積分學
考試內(nèi)容
    多元函數(shù)的概念 ，二元函數(shù)的幾何意義 ，二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念 ，有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，多元函數(shù)偏導數(shù)的概念與計算，多元復合函數(shù)的求導法與隱函數(shù)求導法， 二階偏導數(shù)， 全微分， 多元函數(shù)的極值和條件極值，最大值和最小值． 二重積分的概念，基本性質(zhì)和計算.
考試要求
1．了解多元函數(shù)的概念，了解二元函數(shù)的幾何意義．
2．了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念，了解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)．
3．了解多元函數(shù)偏導數(shù)與全微分的概念,會求多元復合函數(shù)一階、二階偏導數(shù)，會求全微分,會求多元隱函數(shù)的偏導數(shù)．
4．了解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決簡單的應用問題．
5．了解二重積分的概念與基本性質(zhì)，掌握二重積分的計算方法（直角坐標．極坐標）．
五、無窮級數(shù)
考試內(nèi)容
    常數(shù)項級數(shù)收斂與發(fā)散的概念，收斂級數(shù)的和的概念，級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件，幾何級數(shù)與級數(shù)及其收斂性，正項級數(shù)收斂性的判別法，任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂，交錯級數(shù)與萊布尼茨定理，冪級數(shù)及其收斂半徑．收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域，冪級數(shù)的和函數(shù)，冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)，簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法，初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式.
考試要求
1．了解級數(shù)的收斂與發(fā)散，收斂級數(shù)的和的概念．
2．了解級數(shù)的基本性質(zhì)和級數(shù)收斂的必要條件，掌握幾何級數(shù)及級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件，掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法．
3．了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系，了解交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法．
4．會求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域．
5．了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項求導和逐項積分），會求簡單冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)．
6．了解，，，及的麥克勞林（Maclaurin）展開式．
六、常微分方程
考試內(nèi)容
    常微分方程的基本概念，變量可分離的微分方程，齊次微分方程，一階線性微分方程，線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理，二階常系數(shù)齊次線性微分方程及簡單的非齊次線性微分方程，微分方程的簡單應用．
考試要求
1．了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念．
2．掌握變量可分離的微分方程，齊次微分方程和一階線性微分方程的求解方法．
3．會解二階常系數(shù)齊次線性微分方程．
4．了解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理，會解自由項為多項式，指數(shù)函數(shù)，正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程．
5．會用微分方程求解簡單的應用問題．

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