科目代碼：811              考試科目：數(shù)學分析

一、考試性質

數(shù)學分析是為高等院校和科研院所招收數(shù)學與應用數(shù)學碩士生設置的具有選拔性質的考試科目，其目的是科學、公平、有效地測試考生是否具備攻讀數(shù)學與應用數(shù)學碩士所必須的基本素質和專業(yè)能力，選拔有潛力的優(yōu)秀人才入學，以利于培養(yǎng)職業(yè)道德良好、具有較強專業(yè)能力的高層次數(shù)學人才。

二、考查目標

測試考生對數(shù)學分析基本概念和知識的理解、基本計算和論證技巧的掌握、以及是否具有綜合運用所學知識分析和解決問題的能力。

三、適用范圍

本考試大綱適用于桂林電子科技大學數(shù)學與計算科學學院數(shù)學專業(yè)碩士研究生招生考試。

四、考試形式和試卷結構

（一）試卷滿分及考試時間

試卷滿分為150分，考試時間180分鐘。

（二）試卷內容結構

　    本試卷包含一元函數(shù)微分學、一元函數(shù)積分學、實數(shù)理論、多元函數(shù)微分學、多元函數(shù)積分學、級數(shù)等試題，考核方式為筆試。

（三）試卷題型結構及分值比例

　本試卷題型包含計算題、分析與證明題，其中計算題約占60%~70%，分析與證明題約占30%~40%。命題可根據(jù)考核需要，對試卷內容結構、題型結構及分值比例做適當調整。

五、考查內容

1．實數(shù)集與函數(shù)

   實數(shù)的概述，函數(shù)的概念，具有某些特殊性質的函數(shù)。

2．極限與連續(xù)

    函數(shù)（數(shù)列）極限的定義和性質，極限的四則運算法則，極限存在的條件，兩個重要的極限，連續(xù)和一致連續(xù)的定義，連續(xù)函數(shù)的運算，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質。

3．導數(shù)與微分

導數(shù)的定義及幾何意義，導數(shù)的四則運算法則，反函數(shù)求導法則，復合函數(shù)的求導法則 ，初等函數(shù)的導數(shù)、隱函數(shù)的參數(shù)方程式表示的函數(shù)的導數(shù)、微分的定義及運算，微分的幾何意義，高階導數(shù)與高階微分。

4．微分學的基本定理及其應用

微分中值定理、不定式的極限，應用導數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)，函數(shù)圖象的討論。

5．實數(shù)的基本理論

    子列、確界與存在定理，區(qū)間套定理。致密性定理，柯西收斂原理，有限覆蓋定理。有界性定理，最大（?。┲刀ɡ?、零點存在定理、反函數(shù)的連續(xù)性定理、一致連續(xù)性定理，上、下極限的定義。

6．不定積分

    原函數(shù)和不定積分的概念，基本積分公式、換元積分法、分部積分法、有理函數(shù)積分法、三角函數(shù)有理式的積分、幾種無理函數(shù)的積分。

7．定積分及其應用

    定積分的定義及其性質 、可積的充要條件、可積函數(shù)類、牛頓—萊布尼茲公式、換元積分法分部積分法、非正常積分 。平面圖形的面積，曲線的弧長與曲率，由截面面積求立體的體積，旋轉體的表面積，定積分在物理上的某些應用及定積分的近似計算。

8．反常積分

   無窮積分的性質與收斂判別、瑕積分的性質與收斂判別。

9．數(shù)項級數(shù)

    級數(shù)收斂與和的定義性質、柯西準則、正項級數(shù)及其審斂法、一般級數(shù)的絕對收斂與條件收斂、交錯級數(shù)、萊布尼茲定理、阿貝爾定理、狄利克雷定理 、絕對收斂與條件收斂級數(shù)的性質、無窮乘積。

10．函數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù)

    函數(shù)項級數(shù)與函數(shù)列的收斂和一致收斂的概念，一致收斂審斂法，一致收斂函數(shù)列與級數(shù)的性質，冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域、和函數(shù)，冪級數(shù)的運算，函數(shù)展開成冪級數(shù)。

11．傅立葉級數(shù)

    三角級數(shù)和三角函數(shù)系的正交性，傅立葉級數(shù)，函數(shù)的傅立葉級數(shù)的展開，收斂性定理及證明。

12．多元函數(shù)的極限與連續(xù)

平面點集的概念，平面點集的基本定理、二元函數(shù)的概念，二重極限二次極限，二元函數(shù)的連續(xù)性，有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質。

13．多元函數(shù)微分

偏導數(shù)與全微分的概念，高階偏導數(shù)和高階全微分，復合函數(shù)的鏈式規(guī)則，由方程所確定的函數(shù)的求導法則，空間曲線的切線和法平面，曲面的切平面和法線， 方向導數(shù)、梯度、泰勒公式。

14．多元函數(shù)極值、條件極值

    多元函數(shù)極值、條件極值。

15．隱函數(shù)的存在定理、函數(shù)相關

一個方程的情形，方程組的情形，函數(shù)行列式的性質，函數(shù)相關。

16．重積分與含參變量非正常積分

    二重積分和三重積分的定義和性質，二重積分的計算，三重積分的計算，重積分的應用，n重積分，含參量正常積分、歐拉積分。

17．曲線積分

    第一類曲線積分與第二類曲線積分的定義、性質，兩類曲線積分的計算，兩類曲線積分的聯(lián)系。

18．曲面積分

    第一類曲面積分與第二類曲面積分的定義、性質，兩類曲面積分的計算，兩類曲面積分的聯(lián)系。

19．各種積分的聯(lián)系及場論初步

    格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，曲線積分與路徑無關、場的概念，向量場的散度與旋度。

六、參考書目（本校本科生教學用書）

華東師大數(shù)學系. 數(shù)學分析（上、下冊）(第五版)[M]. 北京：高等教育出版社, 2019.

 

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