2021黑龍江大學(xué)農(nóng)學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)研究生考研考試大綱 正文

第一部分 課程基本信息
【課程性質(zhì)】 學(xué)科與專業(yè)必修課程
【課程基礎(chǔ)】 掌握高中代數(shù)，平面解析幾何，立體幾何等基本知識。
【適應(yīng)對象】 化學(xué)化工與材料學(xué)院 化學(xué)、化學(xué)實(shí)驗(yàn)班、應(yīng)用化學(xué)、材料化學(xué)、環(huán)境科學(xué)、高分子材料與工程、制藥工程（化學(xué)制藥）專業(yè)的本科生，生命科學(xué)學(xué)院 生物工程、生物技術(shù)、制藥工程（生物制藥）、食品科學(xué)與工程專業(yè)的本科生，建筑工程學(xué)院 土木工程（給水排水工程）專業(yè)的本科生，農(nóng)業(yè)資源與環(huán)境學(xué)院 農(nóng)業(yè)資源與環(huán)境、種子科學(xué)與工程、水土保持與荒漠化防治專業(yè)的本科生，信息管理學(xué)院 信息管理與信息系統(tǒng)、電子商務(wù)等專業(yè)的本科生，信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院(網(wǎng)絡(luò)工程)專業(yè)的本科生，國際文化教育學(xué)院 理科專業(yè)的本科生。
【教學(xué)目的】 本課程是高等學(xué)校理工科（本科）相關(guān)專業(yè)的一門必修的基礎(chǔ)課，它為學(xué)習(xí)后續(xù)課程提供必要的數(shù)學(xué)知識。同時還能培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力及綜合運(yùn)算能力，進(jìn)一步提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，對今后的學(xué)習(xí)、研究和應(yīng)用都具有關(guān)鍵的作用。
【內(nèi)容提要】 一元函數(shù)微積分及其應(yīng)用；空間解析幾何；多元函數(shù)微積分及其應(yīng)用；級數(shù)的一般理論；常微分方程。本課程分兩學(xué)期講授，其中第一學(xué)期講授第一至六章（75學(xué)時），第二學(xué)期講授第七至十一章（90學(xué)時），總學(xué)時為165學(xué)時（具體分配情況可參考第二部分），其中帶*號的內(nèi)容為選講內(nèi)容。
第二部分 主要教學(xué)內(nèi)容和基本要求
【主要教學(xué)內(nèi)容】
第一章 函數(shù)
第一節(jié)  集合與映射
一、集合的基本概念及其運(yùn)算
二、區(qū)間和鄰域
三、映射的概念及應(yīng)用舉例
第二節(jié) 函數(shù)及其基本性質(zhì)
一、函數(shù)的概念
二、復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的概念
三、函數(shù)的幾種特性
四、初等函數(shù)
【基本要求】
一、熟練掌握集合的基本理論和函數(shù)、函數(shù)的定義域、值域、初等函數(shù)的概念，并能建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式；熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及圖像。
二、掌握函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性）。
三、了解映射、單射、滿射、一一映射、復(fù)合映射與逆映射；了解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)和隱函數(shù)的概念。
【參考學(xué)時】 5學(xué)時
【參考資料】 楊興云等編，高等數(shù)學(xué)[M].哈爾濱： 哈爾濱出版社，2009年.
第二章 極限與連續(xù)
第一節(jié)  極限的定義
一、函數(shù)的極限
二、無窮小與無窮大
三、數(shù)列的極限
第二節(jié) 極限的性質(zhì)及運(yùn)算法則
一、極限的性質(zhì)
二、極限的四則運(yùn)算法則
三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則
第三節(jié)  極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限
一、極限存在的兩個準(zhǔn)則
二、兩個重要極限
三、應(yīng)用舉例
第四節(jié) 無窮小的比較
一、無窮小的階的比較
二、等價無窮小之間的關(guān)系
三、等價無窮小替換求極限
第五節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性
一、函數(shù)的連續(xù)性的概念
二、函數(shù)的間斷點(diǎn)
三、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算
四、初等函數(shù)的連續(xù)性
第六節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
一、有界性與最大、最小值定理
二、零點(diǎn)定理與介值定理
第七節(jié) 極限計算方法舉例
【基本要求】
一、熟練掌握極限存在與左右極限之間的關(guān)系，極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則；熟練掌握用變量代換求某些簡單復(fù)合函數(shù)的極限，熟練掌握兩個重要極限和無窮小的性質(zhì)求極限；熟練掌握連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則，并能利用初等函數(shù)的連續(xù)性計算極限。
二、掌握并理解極限的概念、函數(shù)連續(xù)性的概念和函數(shù)在一區(qū)間上連續(xù)的概念，能正確判斷常用初等函數(shù)間斷點(diǎn)的類型；能利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)證明較簡單的問題；掌握無窮小量的定義和階的概念及其簡單的運(yùn)算。掌握無窮小與無窮大的概念、極限存在的兩個準(zhǔn)則，掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。
【參考學(xué)時】 15學(xué)時
【參考資料】 楊興云等編，高等數(shù)學(xué)[M].哈爾濱： 哈爾濱出版社，2009年.
第三章 導(dǎo)數(shù)與微分
第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念
一、導(dǎo)數(shù)的概念
二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義
三、函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系
第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則
二、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
三、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
四、初等函數(shù)的求導(dǎo)方法
第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)
一、高階導(dǎo)數(shù)的概念
二、高階導(dǎo)數(shù)的計算方法舉例
第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法
一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
三、取對數(shù)求導(dǎo)方法和相關(guān)變化率。
第五節(jié) 微分及其應(yīng)用
一、微分的定義及基本運(yùn)算法則
二、微分的幾何意義
三、微分形式的不變性
四、微分在近似計算中的應(yīng)用。
【基本要求】
一、熟練掌握用導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分的方法；熟練掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式；熟練掌握隱函數(shù)、反函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及這兩類函數(shù)中比較簡單函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，會解一些簡單實(shí)際問題中相關(guān)變化率問題。
二、掌握并理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念；掌握導(dǎo)數(shù)、微分與連續(xù)之間的關(guān)系及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程。
三、了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量；了解微分概念中所包含的局部線性化思想，了解微分的有理運(yùn)算法則和一階微分形式不變性；了解微分在近似計算中的應(yīng)用；了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。
【參考學(xué)時】 15學(xué)時
【參考資料】 楊興云等編，高等數(shù)學(xué)[M].哈爾濱： 哈爾濱出版社，2009年.
第四章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
第一節(jié) 微分中值定理
一、Fermat定理
二、Rolle定理
三、Lagrange中值定理
四、Cauchy中值定理
第二節(jié) L＇Hospital法則
一、型的L＇Hospital法則及其應(yīng)用
二、型的L＇Hospital法則及其應(yīng)用
第三節(jié) 函數(shù)圖形的某些幾何性態(tài)的研究
一、函數(shù)單調(diào)性與極值
二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)
三、函數(shù)的極值與最大值、最小值問題
四、函數(shù)圖形的描繪
第四節(jié) Taylor公式
一、Taylor公式
二、Taylor公式的應(yīng)用
第五節(jié)* 方程的近似解
【基本要求】
一、熟練掌握L＇Hospital法則，并能運(yùn)用其計算各種不定型的極限；熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的升降、確定函數(shù)的極值與最值、以及判斷函數(shù)的凸凹性和拐點(diǎn)的方法。
二、掌握并理解Rolle定理、Lagrange中值定理并會運(yùn)用。
三、了解Cauchy中值定理和Taylor中值定理。
【參考學(xué)時】 13學(xué)時
【參考資料】 楊興云等編，高等數(shù)學(xué)[M].哈爾濱： 哈爾濱出版社，2009年.
第五章 一元函數(shù)的積分學(xué)
第一節(jié) 定積分的概念及其基本性質(zhì)
一、定積分問題舉例
二、定積分的定義
三、定積分的基本性質(zhì)
第二節(jié) Newton-Leibniz公式
一、變速直線運(yùn)動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系
二、原函數(shù)的概念
三、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)
四、Newton—Leibniz公式
第三節(jié) 不定積分
一、不定積分的概念與基本性質(zhì)
二、不定積分的換元積分法
三、不定積分的分部積分法
第四節(jié) 有理函數(shù)及某些可化為有理函數(shù)的積分
一、有理函數(shù)的積分
二、三角函數(shù)有理式的積分
三、根式函數(shù)有理函數(shù)的積分
四、積分表的使用方法
第五節(jié) 廣義積分
一、無窮限的廣義積分
二、無界函數(shù)的廣義積分
第六節(jié) 定積分的計算
一、定積分的換元積分法
二、定積分的分部積分法
三、定積分的計算舉例
【基本要求】
一、熟練掌握定積分的基本性質(zhì)和不定積分的基本公式以及求不定積分、定積分的換元積分法和分部積分法（淡化特殊積分技巧的訓(xùn)練），并能靈活運(yùn)用；熟練掌握Newton-Leibniz公式。
二、掌握并理解定積分的概念與幾何意義（對于利用定積分定義求定積分與求極限不作要求）；掌握原函數(shù)、不定積分的概念，理解積分上限函數(shù)及其求導(dǎo)定理。
三、了解一些有理函數(shù)的積分方法、兩類廣義積分及其收斂性及的概念。
【參考學(xué)時】 17學(xué)時
【參考資料】 楊興云等編，高等數(shù)學(xué)[M].哈爾濱： 哈爾濱出版社，2009年.
第六章 定積分及其應(yīng)用
第一節(jié) 定積分的元素法簡介
一、定積分的元素法
第二節(jié) 定積分在幾何學(xué)中的應(yīng)用
一、平面圖形的面積
二、某些立體的體積
三、平面曲線的弧長
第三節(jié) *定積分在物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)中的應(yīng)用
一、變力沿直線所作的功
二、液體的壓力
三、物體的引力
四、黏液定常流動時管流量的測定
五、平均值
【基本要求】
一、掌握科學(xué)技術(shù)問題中建立定積分表達(dá)式的元素法,會運(yùn)用定積分的元素法求平面圖形的面積、已知平行截面面積的立體的體積、旋轉(zhuǎn)體的體積、光滑曲線的弧長；
二、了解定積分在物理、化學(xué)、生物學(xué)等方面上的應(yīng)用.
【參考學(xué)時】 10學(xué)時
【參考資料】 楊興云等編，高等數(shù)學(xué)[M].哈爾濱： 哈爾濱出版社，2009年.
第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何簡介
第一節(jié) 向量及其線性運(yùn)算
一、空間直角坐標(biāo)系
二、向量的概念及線性運(yùn)算
三、向量的模、方向角、投影
第二節(jié) 向量的數(shù)量積與向量積
一、兩向量的數(shù)量積
二、向量積
三、*混合積
第三節(jié) 平面與空間曲線
一、平面方程
二、空間直線方程
第四節(jié) 曲面和空間曲線
一、曲面方程的概念
二、空間曲線方程
三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影
四、柱面
五、旋轉(zhuǎn)曲面與常見的二次曲面
【基本要求】
一、熟練掌握空間直角坐標(biāo)系，會求兩點(diǎn)間的距離；熟練掌握向量的概念、表示及其運(yùn)算法則；熟練掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算； 熟練掌握向量的數(shù)量積、向量積；熟練、掌握直線和平面方程的概念及其求法。
二、理解解向量垂直與平行的條件；理解空間曲線在坐標(biāo)面上的投影。理解曲面方程的概念；理解空間曲線方程的概念、
三、了解混合積；了解空間點(diǎn)線、點(diǎn)面之間的距離；了解線線、線面、面面間的夾角和距離；了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。
【參考學(xué)時】 10學(xué)時
【參考資料】 楊興云等編，高等數(shù)學(xué)[M].哈爾濱： 哈爾濱出版社，2009年.
第八章 多元函數(shù)的微分學(xué)及其應(yīng)用
第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念
一、平面點(diǎn)集
二、多元函數(shù)的概念
三、二元函數(shù)的幾何意義
第二節(jié) 多元函數(shù)的極限與連續(xù)
一、多元函數(shù)的極限
二、多元函數(shù)的連續(xù)性
三、有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
第三節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分
一、偏導(dǎo)數(shù)的概念、計算
二、高階偏導(dǎo)數(shù)
三、全微分的概念、全微分存在的條件及計算
第四節(jié) 復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則
一、復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則
二、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計算
三、一階全微分形式的不變性
第五節(jié) 隱函數(shù)微分法
一、一個方程的情形
二、方程組的情形
第六節(jié) 方向?qū)?shù)和梯度
一、方向?qū)?shù)的概念及計算
二、梯度的概念及其意義
第七節(jié) *多元函數(shù)的Taylor公式
第八節(jié) 多元函數(shù)的極值
一、多元函數(shù)的極值的概念及計算
二、多元函數(shù)的最大（?。┲档挠嬎?br /> 三、條件極值與*拉格朗日乘數(shù)法
第九節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用
    一、空間曲線的切線與法平面
二、空間曲面的切平面與法線
【基本要求】
一、熟練掌握偏導(dǎo)數(shù)、全微分及其簡單函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)的求法；熟練掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，會求簡單多元函數(shù)的極值、最大（小）值及其簡單應(yīng)用題。
二、掌握并理解二元函數(shù)的概念及其幾何意義；掌握并理解偏導(dǎo)數(shù)，全微分的概念與多元函數(shù)極值和條件極值的概念。
三、了解多元函數(shù)的概念、方向?qū)?shù)和梯度的概念及計算方法；了解空間曲線的切線與法平面方程、空間曲面的切平面與法線方程的求法；了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念以及閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；了解Lagrange乘數(shù)法。
【參考學(xué)時】 20學(xué)時
【參考資料】 李桂范等編，高等數(shù)學(xué)[M].哈爾濱： 哈爾濱出版社，2009年.
第九章 多元函數(shù)的積分學(xué)及其應(yīng)用
第一節(jié) 幾何體上的積分及其基本性質(zhì)
一、何體上的積分的概念
二、幾種常見形式的幾何體上的積分
三、幾何體上積分的基本性質(zhì)
第二節(jié) 二重積分的計算法
一、二重積分的幾何意義
二、直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系下二重積分的計算
第三節(jié) 三重積分的計算
一、在直角坐標(biāo)下計算三重積分
二、在柱坐標(biāo)系下計算三重積分
三、在球面坐標(biāo)系計算三重積分。
第四節(jié) *第一類曲線積分與曲面積分的計算
一、第一類曲線積分性質(zhì)與計算
二、第一類曲面積分的性質(zhì)與計算
第五節(jié) *第二類曲線積分與曲面積分
一、第二類曲線積分的概念、性質(zhì)與計算
二、第二類曲面積分的概念、性質(zhì)與計算
第六節(jié) *幾種積分間的聯(lián)系
一、兩類曲線積分之間的轉(zhuǎn)化
二、兩類曲面積分之間的轉(zhuǎn)化
三、Green公式
四、Gauss公式
五、Stokes公式
第七節(jié) *積分與路徑無關(guān)的條件
一、平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件
二、二元函數(shù)的全微分求積
三、*空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件
第八節(jié) *場論初步
一、場的概念
二、向量場的散度、旋度、通量、環(huán)流量
第九節(jié) *多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用
一、積分的元素法簡介
二、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量和引力
【基本要求】
一、熟練掌握二重積分（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）的計算方法，會計算簡單的三重積分（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、*球面坐標(biāo)）。
二、了解幾何體上的積分的概念、第二類曲線積分和第二類曲面積分的概念；掌握兩類曲線積分（對空間曲線的計算只做簡單訓(xùn)練）和兩類曲面積分的計算方法；掌握Green公式、Gauss公式，并會靈活運(yùn)用。了解兩類曲線積分的性質(zhì)及其關(guān)系、兩類曲面積分的性質(zhì)及其關(guān)系；了解第二類平面曲線積分與路徑無關(guān)的物理意義，了解Stokes公式，了解場的基本概念，了解散度、旋度、通量、環(huán)流量的概念及其計算方法；了解科學(xué)技術(shù)問題中建立重積分與曲線、曲面積分表達(dá)式的元素法（微元法），會建立某些簡單的幾何量和物理量的積分表達(dá)式。
【參考學(xué)時】 20學(xué)時
【參考資料】 李桂范等編，高等數(shù)學(xué)[M].哈爾濱： 哈爾濱出版社，2009年.
第十章 無窮級數(shù)
第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念及其基本性質(zhì)
一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念
二、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本性質(zhì)
第二節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法
一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法
二、交錯級數(shù)及Leibniz（萊布尼茲）定理
三、絕對收斂與條件收斂的概念
四、任意項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別方法
第三節(jié) 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)
一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念及其基本性質(zhì)
二、*函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性及其判別法
三、*一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì)
第四節(jié) 冪級數(shù)
一、冪級數(shù)的概念及基本性質(zhì)
二、冪級數(shù)的收斂域及收斂區(qū)間
三、冪級數(shù)的運(yùn)算及和函數(shù)的分析性質(zhì)
四、函數(shù)的泰勒級數(shù)及泰勒級數(shù)展式在近似計算中的應(yīng)用
五、*Euler公式
第五節(jié) *Fourier（傅里葉）級數(shù)
一、三角函數(shù)系的正交性及三角級數(shù)系
二、周期函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)
三、一般函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)
【基本要求】
一、熟練掌握利用收斂級數(shù)的性質(zhì)判別級數(shù)收斂的一些方法；熟練掌握達(dá)朗貝爾判別法，能判別級數(shù)的絕對收斂和條件收斂；熟練掌握冪級數(shù)的收斂區(qū)間和收斂半徑的求法，能利用間接展開法將初等函數(shù)展開成冪級數(shù)。
二、理解無窮級數(shù)的和與收斂的概念。
三、了解用泰勒級數(shù)在近似計算中的應(yīng)用。
【參考學(xué)時】 20學(xué)時
【參考資料】 李桂范等編，高等數(shù)學(xué)[M].哈爾濱： 哈爾濱出版社，2009年.
第十一章 常微分方程
第一節(jié) 微分方程的基本概念
一、微分方程的基本概念
二、微分方程解、通解與特解、初始條件
三、微分方程的幾何意義
第二節(jié) 可分離變量的一階微分方程
一、可分離變量的微分方程
二、可化為可分離變量方程的幾種類型
第三節(jié) 一階線性微分方程
一、一階線性微分方程
二、Bernoulli方程
第四節(jié) *全微分方程
一、全微分方程的概念及全微分方程的解法
二、積分因子
第五節(jié) 某些高階微分方程的降階解法
一、形如的微分方程
二、形如的微分方程
三、形如微分方程
第六節(jié) n階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)
一、函數(shù)之間的線性相關(guān)與線性無關(guān)
二、二階線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)
三、高階齊次線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)
四、*n階線性微分方程的冪級數(shù)解法
第七節(jié) n階常系數(shù)線性微分方程的解法
一、n階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法—特征根法
二、n階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解─比較系數(shù)法
三、Euler方程
第九節(jié) 微分方程的應(yīng)用舉例
一、用微分方程解決實(shí)際問題的一般步驟
二、微分方程應(yīng)用舉例
【基本要求】
一、熟練掌握變量可分離的方程、齊次方程、一階線性方程的解法以及二階常系數(shù)齊
次線性微分方程的解法。
二、掌握并理解微分方程的有關(guān)概念、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)；掌握以及用降階
法解特殊的高階微分方程，會求自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解；掌握用微分方程解決一些簡單的應(yīng)用問題的方法。
三、了解全微分方程的解法、某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程和Euler方程的解法。
【參考學(xué)時】 20學(xué)時
【參考資料】 李桂范等編，高等數(shù)學(xué)[M].哈爾濱： 哈爾濱出版社，2009年.

黑龍江大學(xué)

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