暨南大學709數(shù)學分析研究生考研大綱及參考書目 正文

《數(shù)學分析》
考試大綱
本《數(shù)學分析》考試大綱適用于暨南大學數(shù)學學科各專業(yè)（基礎(chǔ)數(shù)學、計算數(shù)學、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、應(yīng)用數(shù)學、運籌學與控制輪）碩士研究生入學考試。數(shù)學分析是大學數(shù)學系本科學生的最基本課程之一，也是大多數(shù)理工科專業(yè)學生的必修基礎(chǔ)課。它的主要內(nèi)容包括極限與連續(xù)、一元函數(shù)的微分學、一元函數(shù)的積分學、無窮級數(shù)、多元函數(shù)的微分學與積分學、含參變量積分。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有較強的運算能力和綜合分析解決問題能力。
一、 考試的基本要求
    要求考生比較系統(tǒng)地理解數(shù)學分析的基本概念，掌握數(shù)學分析的基本理論、基本思想和方法，具有一定的綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力，以便為以后繼續(xù)學習和從事科研奠定堅實的分析基礎(chǔ)。
二、考試內(nèi)容
1．極限與連續(xù)
（1） 極限的ε－δ、ε－N 定義及其證明；極限的性質(zhì)及運算、無窮小量的概念及基本性質(zhì)；
（2） 函數(shù)的連續(xù)性及一致連續(xù)性概念，函數(shù)的不連續(xù)點類型，連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的證明及其應(yīng)用；
（3） 上、下極限概念，實數(shù)集完備性的基本定理及其應(yīng)用；
（4） 二元函數(shù)的極限的定義及性質(zhì)，重極限與累次極限概念，二元函數(shù)的連續(xù)性概念及性質(zhì)；
（5） 數(shù)列極限的計算，一元與二元函數(shù)極限的計算。
2．一元函數(shù)的微分學
（1） 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分概念及其幾何意義，函數(shù)的可導(dǎo)、可微與連續(xù)之間的關(guān)系；
（2） 求函數(shù)（包括復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)）的各階導(dǎo)數(shù)與微分；
（3） Rolle中值定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理、Taylor定理及其應(yīng)用；
（4） 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值和凸凹性；
（5） 用洛必達法則求不定式極限。
3．一元函數(shù)的積分學
（1） 不定積分的概念及不定積分的基本公式，換元積分法與分部積分法，求初等函數(shù)、有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分；
（2） 定積分的概念，可積條件與可積函數(shù)類；
（3） 定積分的性質(zhì)，微積分學基本定理，定積分的換元積分法和分部積分法，積分第一、二中值定理及其應(yīng)用；
（4） 用定積分計算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積、平行截面面積已知的立體體積、變力做功和物體的質(zhì)量；
（5） 反常積分的概念及性質(zhì)，兩類反常積分的比較判別法、阿貝耳判別法和狄
立克雷判別法，兩類反常積分的計算。
4．無窮級數(shù)
（1） 數(shù)項級數(shù)斂散性的概念及基本性質(zhì)；
（2） 正項級數(shù)收斂的充分必要條件、比較原則、比式判別法、根式判別法與積
分判別法；
（3） 一般數(shù)項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念及其相互關(guān)系，絕對收斂級數(shù)的
性質(zhì)，交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法，一般數(shù)項級數(shù)的阿貝耳判別法和狄立
克雷判別法；
（4） 函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的概念以及判斷一致收斂性的Weierstrass判別法、
Cauchy判別法、Abel判別法和Dirichlet判別法；
（5） 冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域的求法，冪級數(shù)的性質(zhì)與運算；函數(shù)的冪級數(shù)
展開及冪級數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)與求法；
（6） 周期函數(shù)的Fourier級數(shù)展開及Fourier級數(shù)收斂定理。
5．多元函數(shù)的微分學與積分學
（1） 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念、幾何意義與應(yīng)用，連續(xù)、可微與可偏
導(dǎo)之間的關(guān)系，多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（包括高階偏導(dǎo)）與全微分的計算，方
向?qū)?shù)與梯度的定義與計算；
（2） 多元函數(shù)的無條件極值、中值定理與泰勒公式；
（3） 隱函數(shù)存在定理及求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；
（4） 曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的求法；
（5） 重積分、曲線積分和曲面積分的概念與計算；
（6） 格林公式、高斯公式和斯托克斯公式及其應(yīng)用。
6．含參變量積分
（1） 含參變量正常積分的概念及性質(zhì)；
（2） 含參變量反常積分一致收斂的概念及其判別法，一致收斂的含參變量反常
積分的性質(zhì)及其應(yīng)用。
三、 考試題型
填空題、單項選擇題、計算題、證明題。
四、考試方法和考試時間
　　采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。
五、 主要參考教材
數(shù)學分析：《數(shù)學分析 第五版》，上、下冊，華東師范大學數(shù)學科學學院編，高等教育出版社，2019

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