牡丹江師范學(xué)院2021年

    碩士研究生入學(xué)考試自命題科目考試大綱

    科目代碼、名稱:620數(shù)學(xué)分析

    專業(yè)類別：■學(xué)術(shù)型□專業(yè)學(xué)位

    適用專業(yè):0701數(shù)學(xué)

    一、基本知識點(diǎn)

    數(shù)學(xué)分析是我校數(shù)學(xué)學(xué)科碩士研究生入學(xué)初試考試科目。通過考試測試考生對數(shù)學(xué)分析各項(xiàng)內(nèi)容理論知識的掌握程度和應(yīng)用相關(guān)知識解決問題的能力，以保證所錄取的考生具有較好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)素養(yǎng)。

    第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)

    1.熟練運(yùn)用實(shí)數(shù)絕對值的有關(guān)性質(zhì)及幾個(gè)常見不等式；2.深刻理解確界的定義與確界原理，并能運(yùn)用有關(guān)命題進(jìn)行運(yùn)算與證明。

    第二章數(shù)列極限

    1.熟練掌握數(shù)列極限的概念，掌握發(fā)散、單調(diào)、有界和無窮小數(shù)列等有關(guān)概念；2.掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則，運(yùn)用迫斂性原理、單調(diào)有界定理求數(shù)列的極限；3.能夠運(yùn)用柯西收斂準(zhǔn)則判定某些數(shù)列的斂散性。

    第三章函數(shù)極限

    1.深刻理解各類函數(shù)極限的定義；2.熟練掌握函數(shù)極限的性質(zhì)，并能用來證明或計(jì)算給定的函數(shù)極限；3.掌握函數(shù)極限的歸結(jié)原則、柯西收斂準(zhǔn)則及單調(diào)有界定理，并學(xué)會運(yùn)用上述定理；4.熟練掌握兩個(gè)重要極限并運(yùn)用來計(jì)算有關(guān)函數(shù)極限；5.掌握各種類型的無窮小量與無窮大量的定義、性質(zhì)及階的比較。

    第四章函數(shù)的連續(xù)性

    1.熟練掌握函數(shù)連續(xù)的概念、間斷點(diǎn)的類型；熟練掌握連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)、連續(xù)函數(shù)的有理運(yùn)算性質(zhì)，熟知復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性及反函數(shù)的連續(xù)性；2.熟練掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的重要性質(zhì)（最值定理，有界性，介值性），能利用這些性質(zhì)證明；理解函數(shù)的一致連續(xù)性，能利用這一性質(zhì)證明。

    第五章導(dǎo)數(shù)與微分

    1.熟練掌握導(dǎo)數(shù)（包括單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)）的概念及幾何意義，理解函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系；2.能熟練地掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及參數(shù)方程求導(dǎo)法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3.熟練掌握函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)；4.理解微分的定義，微分的幾何意義，微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，微分法則，一階微分形式的不變性。

    第六章微分中值定理及其應(yīng)用

    1.熟練掌握微分中值定理（費(fèi)馬引理，羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理），會用中值定理證明一些恒等式、不等式以及中值命題；2.熟練地應(yīng)用洛必達(dá)法則求不定型的極限；3.深刻理解泰勒定理，掌握泰勒公式，掌握并熟記一些常用初等函數(shù)的泰勒展開式，并能夠加以運(yùn)用；4.理解函數(shù)單調(diào)的充要條件及函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)的充要條件，能應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式；5.深刻理解極值概念，極值判別法，最大值與最小值概念，能熟練地求函數(shù)的極值和最大（?。┲?；6.理解函數(shù)的凹凸性，拐點(diǎn)，，會用有關(guān)的知識討論函數(shù)的凹凸性及拐點(diǎn)，能應(yīng)用函數(shù)的凹凸性證明不等式。

    第七章實(shí)數(shù)的完備性

    掌握確界定理、單調(diào)有界原理、區(qū)間套定理、致密性定理、聚點(diǎn)定理、柯西收斂準(zhǔn)則、有限覆蓋定理。

    第八章不定積分

    1.理解并掌握原函數(shù)與不定積分的概念；2.熟練掌握換元積分法、分部積分法、掌握有理函數(shù)積分法及三角函數(shù)有理式的積分。

    第九章定積分

    1.理解定積分概念；2.了解上和與下和及其性質(zhì)，掌握可積的必要條件及充分條件，并能應(yīng)用它判斷或證明函數(shù)的可積性（包括可積函數(shù)類）；3.熟練應(yīng)用定積分的性質(zhì)；4.理解并掌握微積分學(xué)基本定理，熟練應(yīng)用牛頓—萊布尼茲公式；5.理解變限的積分的性質(zhì)并能熟練的處理相關(guān)問題；6.熟練應(yīng)用換元積分法和分部積分法計(jì)算定積分。

    第十章定積分的應(yīng)用

    理解并掌握平面圖形的面積、已知截面面積函數(shù)的立體體積、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積及曲線弧長的計(jì)算方法.

    第十一章反常積分

    理解非正常積分的概念，掌握無窮限與無界函數(shù)的非正常積分?jǐn)可⑿缘呐袆e法及計(jì)算方法。

    第十二章數(shù)項(xiàng)級數(shù)

    1.掌握無窮級數(shù)的收斂、發(fā)散、絕對收斂及條件收斂等概念；2.掌握收斂級數(shù)的性質(zhì)（包括絕對收斂與條件收斂的性質(zhì)）；3.熟練掌握正項(xiàng)級數(shù)的斂散性的判別法；4.牢記并熟練掌握等比級數(shù)、調(diào)和級數(shù)、級數(shù)的斂散性，并能靈活應(yīng)用；5.掌握交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茲判別法，理解一般項(xiàng)級數(shù)的狄利克雷判別法及阿貝爾判別法。

    第十三章函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

    1.理解收斂域、極限函數(shù)、和函數(shù)和一致收斂等概念；2.會用一致收斂的定義、柯西收斂準(zhǔn)則和最值法判定一致收斂，熟練掌握優(yōu)級數(shù)判別法，理解并掌握狄利克雷判別法、阿貝爾判別法；3.理解并掌握一致收斂的函數(shù)列的極限函數(shù)的連續(xù)性、可積性、可微性和一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)的連續(xù)性、可積性（逐項(xiàng)積分）與可微性（逐項(xiàng)微分），并能應(yīng)用它們解決一些相關(guān)問題。

    第十四章冪級數(shù)

    1.理解冪級數(shù)的有關(guān)概念，掌握收斂性的有關(guān)問題；2.掌握冪級數(shù)的內(nèi)閉一致收斂性，和函數(shù)的連續(xù)性、可積性與可微性；3.熟練掌握冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域的求法；4.理解并掌握函數(shù)的冪級數(shù)展開式，并能用冪級數(shù)做某些近似計(jì)算。

    第十五章傅里葉級數(shù)

    1.掌握三角函數(shù)系的正交性，理解以2位周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)的有關(guān)概念、定義及收斂定理；2.明確以2為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)是以2位周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)的推廣，并理解偶函數(shù)與奇函數(shù)的傅里葉級數(shù)；3.能將一些函數(shù)展成傅里葉級數(shù)。

    第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)

    1.掌握平面點(diǎn)集的有關(guān)概念，二元函數(shù)的極限、累次極限以及連續(xù)性等概念；弄清重極限與累次極限的關(guān)系；會證明二元函數(shù)極限的不存在；2.掌握多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

    第十七章多元函數(shù)微分學(xué)

    1.理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)等概念，特別應(yīng)掌握全微分、偏導(dǎo)數(shù)、連續(xù)及偏導(dǎo)存在、偏導(dǎo)連續(xù)等之間的關(guān)系；2.熟練掌握求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、全微分及方向?qū)?shù)的方法；3.會求空間曲線的切線方程、法平面方程，空間曲面的切平面方程、法線方程；4.掌握多元函數(shù)的泰勒公式；5.理解極值和最值的概念，掌握極值的必要條件及充分條件，會求多元函數(shù)的極值和某些函數(shù)的最大（?。┲担⒛芙鉀Q一些簡單的應(yīng)用問題。

    第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

    1.理解隱函數(shù)的有關(guān)概念及隱函數(shù)存在性可微性的條件，進(jìn)而會求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)；2.了解隱函數(shù)組的有關(guān)概念及隱函數(shù)組存在可微性的條件，了解反函數(shù)及反函數(shù)組存在的條件；3.掌握隱函數(shù)組的微分法和隱函數(shù)幾何方面的應(yīng)用；4.理解條件極值的概念及拉格朗日乘數(shù)法，會求多元函數(shù)的條件極值，并能把實(shí)際中的某些極值問題抽象為數(shù)學(xué)上的條件極值問題。

    第十九章含參量積分

    1.理解和掌握含參量正常積分、含參量反常積分的基本概念；2.掌握兩種含參量反常積分的基本性質(zhì)；3.深刻理解含參量反常積分的一致收斂的概念，掌握其判別的方法；4.掌握含參量積分的分析性質(zhì)，并能應(yīng)用其計(jì)算積分。

    第二十章曲線積分

    1.理解并掌握第一型曲線積分、第二型曲線積分的基本概念和性質(zhì)，并掌握其計(jì)算方法；2.了解并掌握兩類曲線積分之間的聯(lián)系。

    第二十一章重積分

    1.理解二重積分與三重積分的有關(guān)概念；2.理解二重積分與三重積分的性質(zhì)；3.熟練掌握直角坐標(biāo)系及極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算方法，能將三重積分化為累次積分，并利用柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分；4.掌握格林公式；5.會求一些圖形的面積、體積以及一些物體的質(zhì)量。

    第二十二章曲面積分

    1.掌握第一型曲面積分、第二型曲面積分的基本概念、性質(zhì)和計(jì)算方法，同時(shí)明確兩者之間的聯(lián)系；2.熟練掌握高斯公式和斯托克斯公式。

    二、考試要求（包括考試時(shí)間、總分、考試方式、題型、分?jǐn)?shù)比例等）

    考試時(shí)間：180分鐘，總分：150分，考試方式：筆試，閉卷

    題型：一、填空題；二、計(jì)算題；三、證明題

    分?jǐn)?shù)比例：填空題（共40分）；計(jì)算題（共50分）；證明題（共60分）

    一、主要參考書目

    《數(shù)學(xué)分析》第四版（上、下冊）華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編高等教育出版社，2010.

    《數(shù)學(xué)分析》第二版(上、下冊)，陳傳璋等，高等教育出版社,1983.

    四、學(xué)院審核意見

    主管領(lǐng)導(dǎo)簽字：單位公章：

    注：“總分”按照各自命題科目分值具體情況添寫。

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