2021南昌航空大學數學分析研究生考試大綱

發(fā)布時間：2020-11-19 編輯：考研派小莉 推薦訪問：
2021南昌航空大學數學分析研究生考試大綱

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2021南昌航空大學數學分析研究生考試大綱 正文

    南昌航空大學2021年研究生入學考試初試大綱
    考試科目名稱：數學分析
    考試科目代碼：609
    考試形式：筆試
    考試時間：180分鐘
    滿分：150分
    參考書目：《數學分析》上下冊（第四版），華東師范大學數學系編，高等教育出版社，2010。
    一、試卷結構：
    1、計算題，共6--7小題，共70分；2、證明題、論述題，共5—6題，共80分。
    二、考試范圍：
    （1）考查知識點
    (一)實數集與函數
    1、實數：實數的概念，實數的性質，絕對值與不等式;
    2、數集、確界原理：區(qū)間與鄰域，有界集與無界集，上、下確界，確界原理;
    3、函數概念：函數的定義，函數的表示法(解析法、列表法、和圖象法)，分段函數；
    4、具有某些特征的函數：有界函數，單調函數，奇函數與偶函數，周期函數。
    (二)數列極限
    1、極限概念；
    2、收斂數列的性質：唯一性，有界性，保號性，單調性；
    3、數列極限存在的條件：單調有界準則，迫斂性法則，柯西準則。
    (三)函數極限
    1、函數極限的概念，單側極限的概念；
    2、函數極限的性質：唯一性，局部有界性，局部保號性，不等式性，迫斂性；
    3、函數極限存在的條件：歸結原則，柯西準則；
    4、兩個重要極限；
    5、無窮小量與無窮大量，階的比較。
    (四)函數連續(xù)
    1、函數連續(xù)的概念：一點連續(xù)的定義，區(qū)間連續(xù)的定義，單側連續(xù)的定義，間斷點及其分類；
    2、連續(xù)函數的性質：局部性質及運算，閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質（最大最小值性、有界性、介值性、一致連續(xù)性），復合函數的連續(xù)性，反函數的連續(xù)性*；
    3、初等函數的連續(xù)性。
    （五）導數與微分
    1、導數概念：導數的定義、單側導數、導函數、導數的幾何意義；
    2、求導法則：導數的四則運算、反函數的求導法則、復合函數的求導法則、基本求導法則與公式；
    3、參變量函數的導數；
    4、高階導數；
    5、微分：微分的定義、微分的運算法則、高階微分、微分的應用。
    （六）微分中值定理及其應用
    1、中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理
    2、幾種特殊類型的不定式極限與洛必達法則；
    3、泰勒公式；
    4、函數的極值、最值；
    5、函數凹凸性與拐點。
    （七）實數完備性定理
    1、實數完備性的基本定理：閉區(qū)間套定理、聚點定理、有限覆蓋定理；
    2、閉區(qū)間上連續(xù)函數的整體性質：有界性定理、最大小值性定理、介值定理的、一致連續(xù)性定理。
    （八）不定積分
    1、不定積分概念與基本積分公式；
    2、換元積分法與分部積分法；
    3、有理函數和可化為有理函數的不定積分。
    （九）定積分
    1、定積分的概念：概念的引入、函數可積的必要條件；
    2、微積分學基本定理：可變上限積分，牛頓-萊布尼茲公式；
    3、可積性條件：可積的必要條件和充要條件、可積函數類(連續(xù)函數，只有有限個間斷點的有界函數，單調函數)；
    4、定積分的性質：定積分的基本性質、積分中值定理；
    5、微積分基本定理—定積分計算：變限積分與原函數的存在性、換元積分與分部積分、泰勒公式的積分型余項。
    （十）定積分的應用
    1、定積分的幾何應用：平面圖形的面積、微元法、已知截面面積函數的立體體積、平面曲線的弧長與曲率、旋轉曲面的面積。
    （十一）反常積分
    1、反常積分的概念；
    2、無窮積分的性質與收斂準則；
    3、瑕積分的性質與收斂準則。
    （十二）數項級數
    1、級數的斂散性：無窮級數收斂，發(fā)散等概念，柯西準則，收斂級數的基本性質；
    2、正項級數：比較原理，達朗貝爾判別法，柯西判別法，積分判別法；
    3、一般項級數：交錯級數與萊布尼茲判別法，絕對收斂級數與條件收斂級數及其性質，阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。
    （十三）函數列與函數項級數
    1、一致收斂性及一致收斂判別法（柯西準則，優(yōu)級數判別法，狄利克雷與阿貝爾判別法）；
    2、一致收斂的函數列與函數項級數的性質（連續(xù)性、可積性、可微性）。
    （十四）冪級數
    1、冪級數：阿貝爾定理，收斂半徑與收斂區(qū)間，冪級數的一致收斂性，冪級數和函數的分析性質；
    2、函數的冪級數展開與泰勒定理。
    （十五）傅里葉級數
    1、傅里葉級數：三角級數與正交函數系、傅里葉級數、收斂定理；
    2、以2L為周期的函數的展開式；
    3、收斂定理的證明。
    （十六）多元函數的極限與連續(xù)
    1、平面點集與多元函數的概念；
    2、二元函數的極限、累次極限；
    3、二元函數的連續(xù)性概念、連續(xù)函數的局部性質及初等函數連續(xù)性。
    （十七）多元函數微分學
    1、可微性：偏導數的概念，偏導數的幾何意義，偏導數與連續(xù)性；全微分概念；連續(xù)性與可微性，偏導數與可微性；
    2、多元復合函數微分法及求導公式；
    3、方向導數與梯度；
    4、泰勒定理與極值。
    （十八）隱函數定理及其應用
    1、隱函數：隱函數的概念，隱函數的定理，隱函數求導舉例；
    2、隱函數組：隱函數組存在定理，反函數組與坐標變換，雅可比行列式；
    3、幾何應用：平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面和法線；
    4、條件極值：條件極值的概念，條件極值的必要條件。
    （十九）含參量積分
    1、含參量正常積分；
    2、含參量反常積分：含參變量反常積分及其一致收斂性概念，一致收斂的判別法(柯西準則，與函數項級數一致收斂性的關系，一致收斂的M判別法)，含參變量反常積分的性質。
    （二十）曲線積分
    1、第一型曲線積分的定義和計算；
    2、第二型曲線積分的定義和計算、兩類曲線積分的聯系。
    （二十一）重積分
    1、二重積分的概念：平面圖形的面積、二重積分的定義及其存在性、二重積分的性質；
    2、直角坐標系下二重積分的計算；
    3、格林公式，曲線積分與路線的無關性；
    4、二重積分的變量變換，極坐標計算二重積分；
    5、三重積分：化三重積分為累次積分,換元法（一般變換，柱面坐標變換，球坐標變換）；
    6、重積分的應用。
    （二十二）曲面積分
    1、第一型曲面積分的概念和計算；
    2、第二型曲面積分，兩類曲面積分的聯系；
    3、高斯公式與斯托克斯公式。
    （二十三）向量函數微分學
    1、n維歐氏空間與向量函數；
    2、向量函數的微分;
    3、反函數定理和隱函數定理。
    （2）考查重點
    (一)實數集與函數
    實數的性質，上、下確界，確界原理。
    (二)數列極限
    極限概念，收斂數列的性質，數列極限存在的條件。
    (三)函數極限
    函數極限的概念，函數極限的性質，函數極限存在的條件，兩個重要極限。
    (四)函數連續(xù)
    函數連續(xù)的概念，連續(xù)函數的性質。
    （五）導數與微分
    導數概念，求導法則，微分的定義，微分的運算法則。
    （六）微分中值定理及其應用
    中值定理，不定式極限與洛必達法則，函數的極值、最值，函數凹凸性與拐點。
    （七）實數完備性定理
    有界性定理、最大小值性定理、介值定理的、一致連續(xù)性定理。
    （八）不定積分
    不定積分概念與基本積分公式，換元積分法與分部積分法。
    （九）定積分
    定積分的概念，牛頓-萊布尼茲公式，定積分的性質。
    （十）定積分的應用
    平面圖形的面積，微元法，已知截面面積函數的立體體積，平面曲線的弧長與曲率，旋轉曲面的面積。
    （十一）反常積分
    反常積分的概念，無窮積分的性質與收斂準則，瑕積分的性質與收斂準則。
    （十二）數項級數
    級數的斂散性，正項級數判別法，交錯級數與萊布尼茲判別法，絕對收斂級數與條件收斂級數及其性質。
    （十三）函數列與函數項級數
    一致收斂性及一致收斂判別法，一致收斂的函數列與函數項級數的性質。
    （十四）冪級數
    收斂半徑與收斂區(qū)間，冪級數的一致收斂性，冪級數和函數的分析性質，函數的冪級數展開與泰勒定理。
    （十五）傅里葉級數
    三角級數與正交函數系，傅里葉級數。
    （十六）多元函數的極限與連續(xù)
    二元函數的極限，二元函數的連續(xù)性概念。
    （十七）多元函數微分學
    偏導數的概念，偏導數與連續(xù)性，全微分概念，連續(xù)性與可微性，偏導數與可微性，多元復合函數微分法及求導公式。
    （十八）隱函數定理及其應用
    隱函數的概念，隱函數的定理，隱函數求導，條件極值。
    （十九）含參量積分
    含參量正常積分，含參量反常積分斂散性及其性質。
    （二十）曲線積分
    第一型曲線積分的定義和計算，第二型曲線積分的定義和計算，兩類曲線積分的聯系。
    （二十一）重積分
    二重積分的定義及其存在性，二重積分的性質，直角坐標系下二重積分的計算，格林公式，極坐標計算二重積分，化三重積分為累次積分。
    （二十二）曲面積分
    第一型曲面積分的概念和計算，第二型曲面積分，兩類曲面積分的聯系，高斯公式與斯托克斯公式。
    （二十三）向量函數微分學
    n維歐氏空間與向量函數。
南昌航空大學

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