814--《高等代數(shù)》考研大綱

    一、基本要求

    要求考生全面系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，熟練掌握高等代數(shù)的基本思想和基本方法。要求考生具有較強(qiáng)的抽象思維能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力。

    二、考試范圍

    （一）多項式

    1．多項式的帶余除法及整除性、最大公因式、互素多項式；

    2．不可約多項式、因式分解唯一性定理、重因式、復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項式的因式分解、有理系數(shù)多項式不可約的判定；

    3．多項式函數(shù)與多項式的根、代數(shù)基本定理、有理系數(shù)多項式的有理根的求法、根與系數(shù)的關(guān)系。

    （二）行列式

    1．行列式的定義及性質(zhì)，行列式的子式、余子式及代數(shù)余子式；

    2．行列式按一行、列的展開定理、Cramer法則、Laplace定理和行列式乘法定理、Vandermonde行列式；

    3．運(yùn)用行列式的性質(zhì)及展開定理等計算行列式。

    （三）線性方程組

    1．Gauss消元法與初等變換；

    2．向量組的線性相關(guān)性、向量組的秩與極大線性無關(guān)組、矩陣的秩；

    3．線性方程組有解的判別定理與解的結(jié)構(gòu)。

    （四）矩陣

    1．矩陣的基本運(yùn)算、矩陣的分塊及常用分塊方法；

    2．矩陣的初等變換、初等矩陣、矩陣的等價、矩陣的跡、方陣的多項式；；

    3．逆矩陣、矩陣可逆的條件及與矩陣的秩和初等矩陣之間的關(guān)系，伴隨矩陣及其性質(zhì)；

    4．運(yùn)用初等變換法求矩陣的秩及逆矩陣。

    （五）二次型理論

    1．二次型及其矩陣表示、矩陣的合同、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形、慣性定理；

    2．實(shí)二次型在合同變換下的規(guī)范形以及在正交變換下的特征值標(biāo)準(zhǔn)型的求法；

    3．實(shí)二次型或?qū)崒ΨQ矩陣的正定、半正定、負(fù)定、半負(fù)定的定義、判別法及其應(yīng)用。

    （六）線性空間

    1．線性空間、子空間的定義與性質(zhì)，向量組的線性相關(guān)性，線性（子）空間的基、維數(shù)、向量關(guān)于基的坐標(biāo)，基變換與坐標(biāo)變換，線性空間的同構(gòu)；

    2．子空間的基擴(kuò)張定理，生成子空間，子空間的和與直和、維數(shù)公式；

    3．一些常見的子空間，如線性方程組的解空間、矩陣空間、多項式空間、函數(shù)空間。

    （七）線性變換

    1．線性變換的定義、性質(zhì)與運(yùn)算，線性變換的矩陣表示，矩陣的相似、同一個線性變換關(guān)于不同基的矩陣之間的關(guān)系；

    2．矩陣的特征多項式與最小多項式及其性質(zhì)、線性變換及其矩陣的特征值和特征向量的概念和計算、特征子空間、實(shí)對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)；

    3．線性變換的不變子空間、核、值域的概念、關(guān)系及計算；

    4．Hamilton-Caylay定理、矩陣可相似對角化的條件與方法、線性變換矩陣的化簡、Jardan標(biāo)準(zhǔn)形。

    （八）λ-矩陣

    1．λ-矩陣的初等變換、標(biāo)準(zhǔn)型，λ-矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子及三種因子之間的關(guān)系；

    2．λ-矩陣的等價與數(shù)字矩陣的相似；

    3．Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的的理論推導(dǎo)。

    （九）歐氏空間

    1．內(nèi)積與歐氏空間的定義及性質(zhì)，向量的長度、夾角、距離，正交矩陣，歐氏空間的同構(gòu)，正交子空間與正交補(bǔ)；

    2．歐氏空間的度量矩陣、標(biāo)準(zhǔn)正交基、線性無關(guān)向量組的Schmidt正交化方法；

    3．正交變換與正交矩陣的等價條件，對稱變換的概念與性質(zhì)；

    4．實(shí)對稱矩陣的正交相似對角化的求法；最小二乘法、初等旋轉(zhuǎn)和鏡像變換。

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