2021上海理工大學831高等代數(shù)研究生考試大綱 正文

專業(yè)課《高等代數(shù)》考研大綱和參考書目
 
參考教材及參考書：北京大學數(shù)學系前代數(shù)小組編，2013：《高等代數(shù)》（第四版），高等教育出版社。
 
課程內容（打＊部分內容或章節(jié)要求重點掌握）
多項式：
    ＊整除概念，帶余除法理論；
最大公因式定義及求法；
＊多項式互素的概念與性質；
＊因式分解定理和不可約多項式的性質；
＊復系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解；
       行列式：
＊行列式的定義；
＊行列式性質及按行按列展開法則，并用此計算行列式；
Laplace定理；
＊克拉默法則；
       ＊線性方程組：
            消元法；
            向量組的線性相關與線性無關性，向量組的極大無關組與秩；
            矩陣的秩及求法；
            線性方程組有解判別定理；
            線性方程組基礎解系、通解及解的結構；
       ＊矩陣：
            矩陣線性運算，乘法，轉置及運算律；
矩陣初等變換，初等矩陣；
逆矩陣及其存在條件，求逆矩陣；
分塊矩陣運算；
        二次型：
＊二次型的矩陣表示；
矩陣合同
            ＊可逆線性變換化二次型為標準形；
              慣性定理；
            ＊正定二次型判定；
        線性空間
               線性空間的定義與性質；
             ＊有限維線性空間的基與維數(shù)，向量坐標；
             ＊基變換與坐標變換；
＊子空間定義，維數(shù)與基、維數(shù)公式；
＊子空間的交與和，直和；
線性空間的同構；
        ＊線性變換
             線性變換的運算，線性變換的矩陣
             特征值與特征向量；
             可對角化問題；
             線性變換的值域與核；
             不變子空間；
             若爾當標準形的概念；
             最小多項式；
       -矩陣
              -矩陣等價標準形；
             ＊不變因子、行列式因子、初等因子的概念及其關系；
             ＊矩陣相似的條件；
               若爾當標準形理論及求法；
        歐氏空間
               內積與歐氏空間定義，度量矩陣；
               施密特正交化方法求標準正交基；
             ＊正交變換，對稱變換；
             ＊對稱矩陣的標準形及用正交線性替換化二次型為標準形；
               酉空間介紹。

上海理工大學

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