2021陜西師范大學(xué)高等代數(shù)研究生考試大綱 正文

陜西師范大學(xué)碩士研究生招生考試
“826-高等代數(shù)”考試大綱
本《高等代數(shù)》考試大綱適用于陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科各專業(yè)碩士研究生招生考試. 高等代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)系本科學(xué)生基礎(chǔ)課程之一，也是大多數(shù)理工科專業(yè)學(xué)生的必修基礎(chǔ)課.它的主要內(nèi)容包括多項式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、矩陣，歐氏空間等. 要求考生熟悉這門課程中的基本概念、熟練掌握基本理論、有較強(qiáng)的運算能力以及綜合分析問題和解決問題的能力.
一、考試的基本要求
要求考生比較系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，掌握高等代數(shù)的基本思想和方法. 要求考生具有對高等代數(shù)這門課程的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學(xué)的知識分析問題和解決問題的能力.
二、考試方法和考試時間
高等代數(shù)考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘.
三、 考試內(nèi)容
（一） 多項式
1． 數(shù)域及其性質(zhì).
2． 一元多項式及其運算.
3． 帶余除法；整除定義.
4． 最大公因式；輾轉(zhuǎn)相除法；互素.
5． 不可約多項式的定義和基本性質(zhì)；因式分解定理.
6． k-重因式；重因式的判別和求法.
7． 多項式函數(shù)與根；多項式函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).
8． 代數(shù)基本定理；復(fù)數(shù)域上多項式的因式分解；實數(shù)域上多項式的因式分解.
9． 本原多項式；Gauss引理.
10. 在整數(shù)集上的多項式的分解問題；艾森施坦因判別法；有理數(shù)域上多項式的有
理根.
（二） 行列式
1． 排列及其性質(zhì).
2． 級行列式定義.
3． 行列式的性質(zhì).
4． 行列式的計算方法.
5． 行列式的一行（列）展開.
6． 非齊次與齊次線性方程組；克蘭姆法則及有關(guān)定理.
7． k 級子式；k 級子式的代數(shù)余子式；拉普拉斯(Laplace)定理；行列式乘法法則.
（三） 線性方程組
1． 高斯消元法；消元法的矩陣表示；齊次線性方程組.
2． n維向量空間.
3． 線性相關(guān)；線性無關(guān)；向量組的秩.
4． 矩陣的秩；矩陣的秩的有關(guān)結(jié)論；矩陣秩的計算.
5． 線性方程組有解的判定定理.
6． 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)；一般線性方程組解的結(jié)構(gòu).
（四） 矩陣
1． 矩陣的運算.
2． 矩陣乘積的行列式；非退化矩陣；矩陣乘積的秩.
3． 可逆矩陣的判定及求法；逆矩陣的運算規(guī)律.
4． 分塊矩陣的運算.
5． 初等矩陣；等價矩陣；用初等變換求矩陣的逆.
6． 矩陣分塊乘法的初等變換.
（五） 二次型
1． 二次型的矩陣表示；非退化線性替換；矩陣的合同.
2． 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形；配方法.
3． 復(fù)數(shù)域上的二次型的規(guī)范形；實數(shù)域上的二次型的規(guī)范形.
4． 正定二次型及其判定.
（六） 線性空間
1． 線性空間及其性質(zhì).
2． 維數(shù)；基與坐標(biāo).
3． 過渡矩陣及其性質(zhì)；坐標(biāo)變換公式.
4． 線性子空間及其判定；生成空間及其性質(zhì)；基的擴(kuò)充定理.
5． 子空間的交；子空間的和；維數(shù)公式；子空間的交與和的有關(guān)性質(zhì).
6． 直和及其判定；子空間的補；多個子空間的直和.
（七） 線性變換
1． 線性變換的簡單性質(zhì)；有關(guān)例子.
2． 線性變換的運算；線性變換的逆；線性變換的多項式.
3． 線性變換的矩陣；原向量與像向量坐標(biāo)之間關(guān)系.
4． 特征值與特征向量；特征子空間；特征多項式
5． 線性變換可對角化的概念；可對角化的條件；可對角化的一般方法.
6． 值域與核的有關(guān)性質(zhì).
7． 不變子空間；線性空間的直和分解.
8． 最小多項式的基本性質(zhì)；幾類矩陣的最小多項式.
（八） -矩陣
1． λ－矩陣及其性質(zhì)；λ－矩陣的秩；可逆λ－矩陣.
2． λ－矩陣的初等變換；λ－矩陣的等價；標(biāo)準(zhǔn)形及其求法.
3． 行列式因子；不變因子及其求法.
4． 矩陣相似的條件；矩陣相似的幾個判定方法.
5． 初等因子與不變因子的區(qū)別與聯(lián)系；初等因子的求法.
6． 若當(dāng)塊的初等因子；若當(dāng)形矩陣的初等因子.
（九） 歐幾里得空間
1． 內(nèi)積；歐氏空間；內(nèi)積的基本性質(zhì)；向量的夾角；度量矩陣及其性質(zhì).
2． 正交向量組；標(biāo)準(zhǔn)正交基及其性質(zhì)；標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法；正交矩陣.
3． 歐氏空間的同構(gòu)；同構(gòu)的基本性質(zhì)；同構(gòu)的判定方法.
4． 正交變換及其刻畫；正交變換的性質(zhì)；正交變換的分類.
5． 正交子空間及其性質(zhì)；正交補.
6． 實對稱矩陣及其性質(zhì)；實對稱矩陣正交對角化.
四、掌握重點
（一） 多項式的整除理論.
（二） 最大公因式；輾轉(zhuǎn)相除法；互素.
（三） 一般數(shù)域上多項式的因式分解理論.
（四） 多項式函數(shù).
（五） 復(fù)數(shù)域、實數(shù)域以及有理數(shù)域上多項式的因式分解.
（六） 行列式定義及計算.
（七） 矩陣的運算及其理論.
（八） 可逆矩陣及其應(yīng)用.
（九） 分塊矩陣運算及其應(yīng)用.
（十） 矩陣的秩及其應(yīng)用.
（十一）   初等矩陣的概念及其性質(zhì).
（十二）   二次型的標(biāo)準(zhǔn)形理論.
（十三）   正定二次型及其應(yīng)用.
（十四）   線性空間的概念及性質(zhì).
（十五）   子空間的概念及性質(zhì).
（十六）   子空間的運算及其性質(zhì).
（十七）   線性變換及其運算.
（十八）   線性變換的特征值理論及應(yīng)用.
（十九）   線性變換的不變子空間及其應(yīng)用.
（二十）   矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的計算及其應(yīng)用.
（二十一） 歐氏空間的概念及其性質(zhì).
（二十二） 正交變換及其性質(zhì).
（二十三） 對稱變換及其性質(zhì).
（二十四） 實對稱矩陣及其性質(zhì).
五、參考書目
[1] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編. 高等代數(shù)（第四版），高等教育出版社，2013.
[2] 李志慧，李永明. 高等代數(shù)中的典型問題與方法（第二版），科學(xué)出版社，2016. 
 
 
 
 
 
 

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