2021西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué)研究生考試大綱 正文

西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)分析考研大綱
一、考試總體要求與考試要點
1．考試對象
 
考試對象為具有全國碩士研究生入學(xué)考試資格并報考西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院碩士研究生的考生。
 
2．考試總體要求
 
測試考生對數(shù)學(xué)分析的基本內(nèi)容的理解、掌握和熟練程度。要求考生熟悉數(shù)學(xué)分析的基本理論、掌握數(shù)學(xué)分析的基本方法，具有較強的抽象思維能力、邏輯推理能力和運算能力。
 
3．考試內(nèi)容和要點
(一) 實數(shù)集與函數(shù)
　　1、實數(shù)：實數(shù)的概念；實數(shù)的性質(zhì)；絕對值不等式。 
　　2、函數(shù)：函數(shù)的概念；函數(shù)的定義域和值域；復(fù)合函數(shù)；反函數(shù)。 
　　3、函數(shù)的幾何特性：單調(diào)性；奇偶性；周期性。
　　要求：理解和掌握絕對值不等式的性質(zhì)，會求解絕對值不等式；掌握函數(shù)的概念和表示方法，會求函數(shù)的定義域和值域，會證明具體函數(shù)的幾何特性。
(二) 數(shù)列極限
　　1、數(shù)列極限的概念（定義）。 
　　2、數(shù)列極限的性質(zhì)：唯一性；有界性；保號性。 
　　3、數(shù)列極限存在的條件：單調(diào)有界準則；兩邊夾法則。
　　要求：理解和掌握數(shù)列極限的概念，會使用語言證明數(shù)列的極限；掌握數(shù)列極限的基本性質(zhì)、運算法則以及數(shù)列極限的存在條件(單調(diào)有界原理和兩邊夾法則)，并能運用它們求數(shù)列極限；了解無窮小量和無窮大量的概念性質(zhì)和運算法則，會比較無窮小量與無窮大量的階。 

(三) 函數(shù)極限
　　1、函數(shù)極限的概念（定義、定義）；單側(cè)極限的概念。 
　　2、函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性；局部有界性；局部保號性。 
　　3、函數(shù)極限存在的條件：海涅歸結(jié)原則。 
　　4、兩個重要極限。 
　　要求：理解和掌握函數(shù)極限的概念，會使用語言以及語言證明函數(shù)的極限；掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)、運算法則，會使用海涅歸結(jié)原理證明函數(shù)極限不存在；掌握兩個重要極限并能利用它們來求極限；了解單側(cè)極限的概念以及求法。


 
(四) 函數(shù)連續(xù)
　　1、函數(shù)連續(xù)的概念：一點連續(xù)的定義；區(qū)間連續(xù)的定義；單側(cè)連續(xù)的定義；間斷點的分類。 
　　2、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：局部性質(zhì)及運算；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最值性、有界性、介值性、一致連續(xù)性）；復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性；反函數(shù)的連續(xù)性。 
　　3、初等函數(shù)的連續(xù)性。
　　要求：理解與掌握函數(shù)連續(xù)性、一致連續(xù)性的定義以及它們的區(qū)別和聯(lián)系，會證明具體函數(shù)的連續(xù)以及一致連續(xù)性；理解與掌握函數(shù)間斷點的分類；能正確敘述并簡單應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；了解反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)以及初等函數(shù)的連續(xù)性。
 
（五） 實數(shù)系六大基本定理及應(yīng)用
　　1、實數(shù)系六大基本定理：確界存在定理；單調(diào)有界定理；閉區(qū)間套定理；致密性定理；柯西收斂準則；有限覆蓋定理。
　　2、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明：有界性定理的證明；最值性定理的證明；介值性定理的證明；一致連續(xù)性定理的證明。 
　　要求：理解和掌握上、下確界的定義，會求具體數(shù)集的上、下確界；理解和掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)及其證明；能正確敘述實數(shù)系六大基本定理的內(nèi)容及其證明思想，會使用開覆蓋以及二分法構(gòu)造區(qū)間套進行簡單證明。

（六） 導(dǎo)數(shù)與微分
　　1、導(dǎo)數(shù)概念：導(dǎo)數(shù)的定義；單側(cè)導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)的幾何意義。 
　　2、求導(dǎo)法則：初等函數(shù)的求導(dǎo)；反函數(shù)的求導(dǎo)；復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)；隱函數(shù)的求導(dǎo)；參數(shù)方程的求導(dǎo)；導(dǎo)數(shù)的運算(四則運算)。 
　　3、微分：微分的定義；微分的運算法則；微分的應(yīng)用。 
　　4、高階導(dǎo)數(shù)與高階微分。
　　要求：能熟練地運用導(dǎo)數(shù)的運算性質(zhì)和求導(dǎo)法則求具體函數(shù)的（高階）導(dǎo)數(shù)和微分；理解和掌握可導(dǎo)與可微、可導(dǎo)與連續(xù)的概念及其相互關(guān)系；掌握左、右導(dǎo)數(shù)的概念以及分段函數(shù)求導(dǎo)方法，了解導(dǎo)函數(shù)的介值定理。

（七） 微分學(xué)基本定理
　　1、中值定理：羅爾中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理。 
　　2、泰勒公式。
　　要求：理解和掌握中值定理的內(nèi)容、證明及其應(yīng)用；了解泰勒公式及在近似計算中的應(yīng)用，能夠把某些函數(shù)按泰勒公式展開
 
 
 
 

（八） 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
1、函數(shù)的單調(diào)性與極值。 
　　2、函數(shù)凹凸性與拐點?！　?br /> 3、幾種特殊類型的未定式極限與洛必達法則。
　　要求：理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性，會使用這些性質(zhì)求函數(shù)的極值點以及拐點；能根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、拐點、漸近線等進行作圖；能熟練地運用洛必達法則求未定式的極限。 

（九） 不定積分
　　1、不定積分概念。 
　　2、換元積分法與分部積分法。 
　　3、有理函數(shù)的積分。 
　　要求：理解和掌握原函數(shù)和不定積分概念以及它們的關(guān)系；熟記不定積分基本公式，掌握換元積分法、分部積分法，會求初等函數(shù)、有理函數(shù)、三角函數(shù)的不定積分。
 
 
 
 
 
 

（十） 定積分
　　1、定積分的概念；定積分的幾何意義。 
　　2、定積分存在的條件：可積的必要條件和充要條件；達布上和與達布下和；可積函數(shù)類(連續(xù)函數(shù)，只有有限個間斷點的有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù))。 
　　3、定積分的性質(zhì)：四則運算；絕對值性質(zhì)；區(qū)間可加性；不等式性質(zhì)；積分中值定理。
4、定積分的計算：變上限積分函數(shù)；牛頓-萊布尼茲公式；換元公式；分部積分公式。
 
要求：理解和掌握定積分概念、可積的條件以及可積函數(shù)類；熟練掌握和運用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法求定積分。

（十一） 定積分的應(yīng)用
　　1、定積分的幾何應(yīng)用：微元法；求平面圖形的面積；求平面曲線的弧長；求已知截面面積的立體或者旋轉(zhuǎn)體的體積；求旋轉(zhuǎn)曲面的面積。 
　　2、定積分的物理應(yīng)用：求質(zhì)心；求功；求液體壓力。
　　要求：理解和掌握"微元法"；掌握定積分的幾何應(yīng)用；了解定積分的物理應(yīng)用。 

（十二） 數(shù)項級數(shù)
　　1、預(yù)備知識：上、下極限；無窮級數(shù)收斂、發(fā)散的概念；收斂級數(shù)的基本性質(zhì)；柯西收斂原理。 
　　2、正項級數(shù)：比較判別法；達朗貝爾判別法；柯西判別法；積分判別法。 
　　3、任意項級數(shù)：絕對收斂與條件收斂的概念及其性質(zhì)；交錯級數(shù)與萊布尼茲判別法；阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。
　　要求：理解和掌握正項級數(shù)的收斂判別法以及交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法；掌握一般項級數(shù)的阿貝爾判別法與狄利克雷判別法；了解上、下極限的概念和性質(zhì)以及絕對收斂和條件收斂的概念和性質(zhì)。

（十三） 反常積分 
　　1、無窮限的反常積分：無窮限的反常積分的概念；無窮限的反常積分的斂散性判別法。 
　　2、無界函數(shù)的反常積分：無界函數(shù)的反常積分的概念；無界函數(shù)的反常積分的斂散性判別法。
　　要求：理解和掌握反常積分的收斂、發(fā)散、絕對收斂、條件收斂的概念；掌握反常積分的柯西收斂準則，會判斷某些反常積分的斂散性。 

 

（十四） 函數(shù)項級數(shù)
　　1、一致收斂的概念。　　
2、一致收斂的性質(zhì)：連續(xù)性定理；可積性定理；可導(dǎo)性定理。
3、一致收斂的判別法；M-判別法；阿貝爾判別法；狄利克雷判別法。
　　要求：理解和掌握一致收斂的概念、性質(zhì)及其證明；能夠熟練地運用M-判別法判斷一些函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性。

（十五） 冪級數(shù)
　　1、冪級數(shù)的概念以及冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域。 
　　2、冪級數(shù)的性質(zhì)。
3、函數(shù)展開成冪級數(shù)。 
　　要求：理解和掌握冪級數(shù)的概念，會求冪級數(shù)的和函數(shù)以及它的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域；掌握冪級數(shù)的性質(zhì)以及兩種將函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法，會把一些函數(shù)直接或者間接展開成冪級數(shù)。
 
 
 
 
 
 

（十六） 傅里葉級數(shù)
　  1、傅里葉級數(shù)：三角函數(shù)系的正交性；傅里葉系數(shù)。 
　　2、以為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)。
3、以2L為周期的傅里葉級數(shù)。 
　　4、收斂定理的證明。
5、傅里葉變換。
　　要求：理解和掌握三角函數(shù)系的正交性與傅里葉級數(shù)的概念；掌握傅里葉級數(shù)收斂性判別法；能將一些函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)；了解收斂定理的證明以及傅里葉變換的概念和性質(zhì)。 

（十七） 多元函數(shù)極限與連續(xù)
　　1、平面點集與多元函數(shù)的概念。
　　2、二元函數(shù)的二重極限、二次極限。 
　　3、二元函數(shù)的連續(xù)性。
　　要求：理解和掌握二元函數(shù)的二重極限、二次極限的概念以及它們之間的關(guān)系，會計算一些簡單的二元函數(shù)的二重極限和二次極限；掌握平面點集、聚點的概念；了解平面點集的幾個基本定理以及閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

 
 

（十八） 多元函數(shù)的微分學(xué)
　　1、偏導(dǎo)數(shù)與全微分：偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念；可微與可偏導(dǎo)、可微與連續(xù)、可偏導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。 
　　2、復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)以及隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)。
3、空間曲線的切線與法平面以及空間曲面的切平面和法線。
　　4、方向?qū)?shù)與梯度。 
　　5、多元函數(shù)的泰勒公式。
6、極值和條件極值 
　　要求：理解和掌握偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)、梯度的概念及其計算；掌握多元函數(shù)可微、可偏導(dǎo)和連續(xù)之間的關(guān)系；會求空間曲線的切線與法平面以及空間曲面的切平面和法線；會求函數(shù)的極值、最值；了解多元泰勒公式。 

（十九） 隱函數(shù)存在定理、函數(shù)相關(guān)
　　1、隱函數(shù)：隱函數(shù)存在定理；反函數(shù)存在定理；雅克比行列式。
　　2、函數(shù)相關(guān)。 
　　要求：了解隱函數(shù)的概念及隱函數(shù)存在定理，會求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；了解函數(shù)行列式的性質(zhì)以及函數(shù)相關(guān)。 
 
 
 
 
（二十） 含參變量積分以及反常積分
　　1、含參變量積分：積分與極限交換次序；積分與求導(dǎo)交換次序；兩個個積分號交換次序。
　　2、含參變量反常積分：含參變量反常積分的一致收斂性；一致收斂的判別法；歐拉積分、函數(shù)、函數(shù)。
　　要求：理解和掌握積分號下求導(dǎo)數(shù)的方法；掌握函數(shù)、函數(shù)的性質(zhì)及其相互關(guān)系；了解含參變量反常積分的一致收斂性以及一致收斂的判別法。
 
（二十一） 重積分
　　1、重積分概念：重積分的概念；重積分的性質(zhì)。 
　　2、二重積分的計算：用直角坐標計算二重積分；用極坐標計算二重積分；用一般變換計算二重積分?！　?br /> 　　3、三重積分計算：用直角坐標計算三重積分；用柱面坐標計算三重積分；用球面坐標計算三重積分。 
　　4、重積分應(yīng)用：求物體的質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量；求立體體積，曲面的面積；求引力。 
　　　要求：理解和掌握二重、三重積分的各種積分方法和特點，會選擇最合適的方法進行積分；掌握并合理運用重積分的對稱性簡化計算；了解柱面坐標和球面坐標積分元素的推導(dǎo)。 


（二十二） 曲線積分與曲面積分
　　1、第一類曲線積分：第一類曲線積分的概念、性質(zhì)與計算；第一類曲線積分的對稱性。
　　2、第二類曲線積分：第二類曲線積分的概念、性質(zhì)與計算；兩類曲線積分的聯(lián)系。 
3、第一類曲面積分：第一類曲面積分的概念、性質(zhì)與計算；第一類曲面積分的對稱性。
4、第二類曲面積分：曲面的側(cè)；第二類曲面積分的概念、性質(zhì)與計算；兩類曲面積分的聯(lián)系。 
　　5、格林公式：曲線積分與路徑的無關(guān)的四種等價敘述。 
　　6、高斯公式。
7、斯托克斯公式。 
　　8、場論初步：梯度；散度；旋度。
　　要求：理解和掌握兩類曲線積分與曲面積分的概念、性質(zhì)與計算，會使用對稱性簡化第一類曲線以及曲面積分；熟練掌握格林公式、高斯公式的證明并能利用它們求一些曲線積分和曲面積分；了解兩類曲線積分及曲面積分的區(qū)別和聯(lián)系；了解斯托克斯公式和場論初步。



 
 
二、考試形式
1. 考試時間
180分鐘。
2．試卷分值
150分。
3．考試方式
閉卷考試。
 

西安電子科技大學(xué)

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