2022年西北師范大學(xué)地環(huán)學(xué)院碩士研究生考試科目《數(shù)學(xué)(理)》考試大綱及參考書目 正文

一、考核要求
本《高等數(shù)學(xué)》考試大綱適用于西北師范大學(xué)地環(huán)學(xué)院各專業(yè)的碩士研究生入學(xué)考試。
《高等數(shù)學(xué)》的內(nèi)容和應(yīng)用非常廣泛，是理工科各專業(yè)的重要基礎(chǔ)課。本《高等數(shù)學(xué)》考核微積分學(xué)及其應(yīng)用。主要內(nèi)容包括：一元及多元函數(shù)的微積分，微分方程，空間解析幾何和向量代數(shù)等。
要求考生對(duì)課程的整體框架有一個(gè)清晰的了解，重點(diǎn)掌握基本概念和基本理論的數(shù)學(xué)思想和方法，能運(yùn)用高等數(shù)學(xué)解決一些理論和實(shí)際問題。
主要考查學(xué)生的邏輯思維能力、計(jì)算能力、綜合分析能力、解決實(shí)際問題的創(chuàng)新能力等。
二、考核評(píng)價(jià)目標(biāo)
第一章 函數(shù)與極限
1. 理解和掌握函數(shù)的表示法，會(huì)建立應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系。
2. 了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性。
3. 理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。
4. 掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念。
5．掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。
6．掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。
7．理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會(huì)用等價(jià)無窮小量求極限。
8．了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。
第二章 導(dǎo)數(shù)與微分
1. 理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。
2. 掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分。
3. 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。
第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
1. 理解并會(huì)用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并會(huì)用柯西(Cauchy)中值定理。
2. 掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。
3. 理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用。
4. 會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)。
第四章 不定積分
1. 理解原函數(shù)的概念，理解不定積分的概念。
2. 掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的性質(zhì)換元積分法與分部積分法。
第五章 定積分及其應(yīng)用
1. 理解定積分的概念和意義。
2. 掌握定積分的性質(zhì)，換元積分法與分部積分法。
3. 理解積分上限的函數(shù)，會(huì)求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓－萊布尼茨公式。
4. 運(yùn)用定積分計(jì)算一些平面圖形的面積。
第六章 微分方程
1. 了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。
2. 掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。
3. 掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。
第七章 向量代數(shù)和空間解析幾何
1. 理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示。
2. 掌握向量的運(yùn)算(線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積)，了解兩個(gè)向量垂直、平行的條件。
3. 理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法。
4. 掌握平面方程和直線方程及其求法。
5. 會(huì)求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系(平行、垂直、相交等)解決有關(guān)問題。
6. 會(huì)求點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離。
第八章 多元函數(shù)微法及其應(yīng)用
1. 理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義。
2. 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。
3. 理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。
4. 掌握多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法。
5. 了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們的方程。
6. 理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題。
7. 掌握二重積分與三重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算。
第九章 重積分及曲線積分
1. 理解二重積分的概念與性質(zhì)以及二重積分的計(jì)算法。
2. 理解并掌握二重積分的應(yīng)用。
3. 理解三重積分的概念,掌握三重積分的計(jì)算法以及對(duì)孤長(zhǎng)的曲線積分和對(duì)坐標(biāo)的曲線積分。
4. 了解格林公式。
三、考核內(nèi)容
第一章 函數(shù)與極限
第一節(jié) 函數(shù)
集合，函數(shù)概念，函數(shù)的幾種特性，反函數(shù)，復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)。
第二節(jié) 數(shù)列的極限
簡(jiǎn)單數(shù)列的極限
第三節(jié) 函數(shù)的極限
自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限，自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限。
第四節(jié) 無窮小與無窮大
無窮小，無窮大的概念與性質(zhì)。
第五節(jié) 極限運(yùn)算法則
極限運(yùn)算法則的應(yīng)用。
第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則·兩個(gè)重要極限
極限存在準(zhǔn)則的應(yīng)用和兩個(gè)重要極限：
  
第七節(jié) 無窮小的比較
等價(jià)無窮小。
第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)
函數(shù)的連續(xù)性，函數(shù)的間斷點(diǎn)。
第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性
連續(xù)函數(shù)的和、差、積及商的連續(xù)性，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，初等函數(shù)的連續(xù)性。
第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
最大值和最小值定理，介值定理。
第二章 導(dǎo)數(shù)與微分
第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)概念
導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之問的關(guān)系。
第二節(jié) 函數(shù)的和、積、商的求導(dǎo)法則
函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則。
第三節(jié) 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。
第四節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)
高階導(dǎo)數(shù)的求法。
第五節(jié) 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
第六節(jié) 函數(shù)的微分
微分的定義和幾何意義，基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則。
第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
第一節(jié) 中值定理
羅爾定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理。
第二節(jié) 洛必達(dá)法則
應(yīng)用洛必達(dá)法則求極限。
第三節(jié) 泰勒中值定理
泰勒中值定理的概念。
第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性
函數(shù)單調(diào)性的判定法，函數(shù)的極值及其求法，曲線的凹凸與拐點(diǎn)。
第五節(jié) 函數(shù)的極值和最大、最小值
函數(shù)的極值，最大、最小值。
第六節(jié) 函數(shù)圖形的描繪
用函數(shù)的性質(zhì)描繪函數(shù)的圖形。
第四章 不定積分
第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)
原函數(shù)與不定積分的概念，基本積分表，不定積分的性質(zhì)。
第二節(jié) 換元積分法
第一類換元法，第二類換元法。
第三節(jié) 分部積分法
分部積分法的應(yīng)用
第五章 定積分及其應(yīng)用
第一節(jié) 定積分概念與性質(zhì)
定積分問題舉例，定積分的定義。
第二節(jié) 微積分基本公式
用微積分基本公式求定積分。
第三節(jié) 定積分的換元法和分部積分法
定積分的換元法的應(yīng)用，定積分的換元法的應(yīng)用。
第四節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用
用元素法求面積。
第六章 微分方程
第一節(jié) 微分方程的基本概念
微分方程的定義與例子。
第二節(jié) 可分離變量的微分方程
可分離變量的微分方程的解法。
第三節(jié)一階線性方程
一階線性方程的解法。
第四節(jié) 二階常系數(shù)齊次線性微分方程
二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。
第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何
第一節(jié) 向量及其線性運(yùn)算
向量概念，向量的加減法，向量與數(shù)的乘法。
第二節(jié) 點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)
空間直角坐標(biāo)系、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算，向量的模、兩點(diǎn)間的距離，向量的方向角與方向余弦，向量在軸上的投影。
第三節(jié) 數(shù)量積·向量積·混合積
兩向量的數(shù)量積，兩向量的向量積。
第四節(jié) 平面及其方程
點(diǎn)的軌跡方程的概念，平面的點(diǎn)法式方程，平面的一般方程，兩平面的夾角。
第五節(jié) 空間直線及其方程
空間直線的一般方程，空間直線的點(diǎn)向式方程與參數(shù)方程，兩直線的夾角，直線與平面的夾角。
第六節(jié) 旋轉(zhuǎn)曲面和二次曲面
旋轉(zhuǎn)曲面，二次曲面的定義及求法。
第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用
第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念
多元函數(shù)概念區(qū)域，多元函數(shù)的極限，多元函數(shù)的連續(xù)性。
第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)
偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法，高階偏導(dǎo)數(shù)。
第三節(jié) 全微分
全微分的概念及求法。
第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的應(yīng)用。
第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式
隱函數(shù)的求導(dǎo)公式的應(yīng)用。
第六節(jié) 多元函數(shù)微分法的幾何應(yīng)用舉例
空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線。
第七節(jié) 多元函數(shù)的板值及其求法
多元函數(shù)的極值及最大值、最小值，條件極值。
第九章 重積分及曲線積分
第一節(jié) 二重積分的概念與性質(zhì)
曲頂柱體的體積與二重積分，二重積分的性質(zhì)。
第二節(jié) 二重積分的計(jì)算法
利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分，利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分。
第三節(jié) 二重積分的應(yīng)用
曲面的面積。
第四節(jié) 三重積分
三重積分的概念，三重積分的計(jì)算法。
第五節(jié) 對(duì)孤長(zhǎng)的曲線積分
對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念，對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法。
第六節(jié) 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分
對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念，對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法。
第七節(jié) 格林公式及其應(yīng)用
格林公式，平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件。

參考書目：
1.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)（第六版）（上下冊(cè)），高等教育出版社，2007
2.趙樹嫄，高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，中國人民大學(xué)出版社，2007

西北師范大學(xué)

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