鄭州大學(xué) 2021 年碩士生入學(xué)考試初試高等代數(shù)考試大綱

學(xué)院名稱 科目代碼 科目名稱 考試單元 說明

說明欄：各單位自命題考試科目如需帶計(jì)算器、繪圖工具等特殊要求的，請?jiān)谡f

明欄里加備注。

鄭州大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試

《高等代數(shù)》考試大綱

一、考試基本要求及適用范圍概述

本《高等代數(shù)》考試大綱適用于鄭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院相關(guān)專業(yè)的碩士研究生

入學(xué)考試。高等代數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)理論課程，主要內(nèi)容包括多項(xiàng)式理論和線

性代數(shù)理論。要求考生系統(tǒng)地理解和掌握高等代數(shù)的基本概念和基本理論，掌握

多項(xiàng)式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、λ矩陣、

歐氏空間的基本理論，并能綜合運(yùn)用所學(xué)的知識分析問題和解決問題。 二、考試形式

碩士研究生入學(xué)高等代數(shù)考試為閉卷，筆試，考試時(shí)間為 180 分鐘，本試卷滿分

為 150 分。

試卷結(jié)構(gòu)（題型）：填空題、計(jì)算題、證明題

三、考試內(nèi)容及要求

（一）多項(xiàng)式

理解數(shù)域的概念. 掌握一元多項(xiàng)式及其次數(shù)、首項(xiàng)的定義和運(yùn)算，性質(zhì)

掌握帶余除法定理，理解整除的概念和基本性質(zhì). 理解最大公因式、多項(xiàng)式互素的概念，會用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公因式，掌握互素

多項(xiàng)式的性質(zhì). 理解不可約多項(xiàng)式的概念，理解多項(xiàng)式有根與多項(xiàng)式可約的聯(lián)系與區(qū)別，掌握不

可約多項(xiàng)式的性質(zhì)和因式分解定理. 理解重因式、多項(xiàng)式的微商（導(dǎo)數(shù)）的概念，掌握多項(xiàng)式的重因式與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)

命題學(xué)院（蓋章）： 考試科目代碼及名稱： 915 高等代數(shù)

系，和多項(xiàng)式?jīng)]有重因式的條件. 掌握余數(shù)定理，理解多項(xiàng)式的根與次數(shù)的關(guān)系，以及多項(xiàng)式相等與多項(xiàng)式函數(shù)相

等的一致性 8 復(fù)系數(shù)、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解

理解代數(shù)學(xué)基本定理和復(fù)系數(shù)、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解定理. 理解本原多項(xiàng)式及與有理多項(xiàng)式的聯(lián)系，掌握整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上因式分

解、有有理根的性質(zhì)和條件，掌握 Eisenstein 判別法. 了解多元多項(xiàng)式字典排序法. 理解多項(xiàng)式根與系數(shù)的關(guān)系，了解對稱多項(xiàng)式的基本定理. （二） 行列式

理解排列、逆序數(shù)、奇排列、偶排列、對換的概念，會計(jì)算排列的逆序數(shù)，理解

對換與排列的逆序數(shù)的關(guān)系，奇、偶排列各半，任意排列可以通過一系列對換與

標(biāo)準(zhǔn)排列互換. 掌握 n 階行列式的定義(包括等價(jià)定義)和一般項(xiàng)，會判斷給定項(xiàng)是否 n 階行列式

的一項(xiàng). 熟練掌握 n 階行列式的性質(zhì)，并能夠用 n 階行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式. 理解余子式、代數(shù)余子式的概念，熟練掌握按行、列展開定理. 理解 Cramer 法則的條件、結(jié)論和意義. 理解 k 級子式及其余子式、代數(shù)余子式的概念；理解 Laplace 定理與行列式的乘

法定理

（三） 線性方程組

理解系數(shù)矩陣、增廣矩陣等概念，會用消元法解方程組

理解 n 維向量及 n 維向量空間的概念，理解 n 維行、列向量的差異與聯(lián)系，掌握

向量的線性運(yùn)算

理解向量組的線性表示、線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念，會判斷向量組的線性相關(guān)

性，理解延長向量組（包括添加向量和添加分量兩種情況）與原向量組的線性相

關(guān)性的關(guān)系，理解向量組的線性表出與它們線性相關(guān)性的關(guān)系

理解向量組的秩、極大線性無關(guān)組的概念，掌握極大線性無關(guān)組的性質(zhì)，掌握向

量組的秩、極大線性無關(guān)組與向量組的線性表出的聯(lián)系，會求向量組的極大線性

無關(guān)組和秩. 理解矩陣的秩、矩陣的行列式秩、k 級子式的概念，會求矩陣的秩并用矩陣的秩

判斷向量組的線性相關(guān)性，掌握方陣的秩、方陣的行列式、線性方程組有非零解

的聯(lián)系

掌握線性方程組有解判定定理的內(nèi)容和意義，會利用矩陣的秩判斷線性方程組是

否有解，能夠分情況討論解的性質(zhì)，理解自由未知量的選取方法. 理解基礎(chǔ)解系的概念，掌握齊次線性方程組和非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，掌

握非齊次線性方程組的解與其導(dǎo)出組解的關(guān)系，會求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，

以及用非齊次線性方程組的特解和其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解. （四） 矩陣

理解矩陣的概念，掌握矩陣與行列式的區(qū)別與聯(lián)系

掌握矩陣的加法、數(shù)乘、轉(zhuǎn)置、乘積的運(yùn)算和性質(zhì)，理解對稱矩陣、反對稱矩陣

的概念

掌握矩陣乘積的行列式、矩陣的和與積的秩與原矩陣的秩的關(guān)系

掌握逆矩陣、伴隨矩陣的概念和性質(zhì)，掌握方陣可逆的充要條件，會求逆矩陣

理解分塊矩陣的概念，掌握分塊矩陣的運(yùn)算（包括求逆）與分法的限制條件，理

解準(zhǔn)對角矩陣的概念和性質(zhì)，會用分塊矩陣方法解決問題. 理解初等矩陣的概念，掌握初等矩陣與初等變換間的關(guān)系，矩陣的等價(jià)關(guān)系與等

價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形，會用初等變換求逆矩陣，掌握矩陣初等變換下的不變量

理解分塊矩陣的初等變換，廣義初等矩陣與廣義初等變換的關(guān)系，會用廣義初等

變換解決分塊矩陣的問題

（五） 二次型

理解二次型的矩陣、秩的定義、性質(zhì)，以及二次型與對稱矩陣的 1-1 對應(yīng)

掌握合同矩陣的概念和性質(zhì)，會用合同變換化對稱矩陣為對角矩陣；掌握非退化

線性替換的概念和性質(zhì)，會用非退化線性替換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形. 理解實(shí)、復(fù)二次型規(guī)范形及其唯一性，理解正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)、符號差的

概念

理解正定矩陣、正定二次型，負(fù)定矩陣、負(fù)定二次型，半正定矩陣、半正定二次

型，半負(fù)定矩陣、半負(fù)定二次型的定義，掌握正定矩陣、正定二次型的幾個(gè)等價(jià)

條件. 定矩陣與正定二次型

（六）線性空間

理解集合，集合的交、并；掌握映射，單射，滿射，雙射，映射的乘法（合成）

掌握線性空間的定義，運(yùn)算，性質(zhì)

掌握線性空間的維數(shù)、基、坐標(biāo)的概念，會求線性空間的維數(shù)、基，以及向量在

指定基下的坐標(biāo)

理解基變換的過渡矩陣的概念，掌握基變換、坐標(biāo)變換公式

理解線性子空間和由若干向量所生成的子空間的概念，會判斷子集合是否構(gòu)成子

空間，會求子空間的維數(shù)、基，掌握補(bǔ)子空間及基擴(kuò)充定理

理解子空間的交、和的概念，會求兩個(gè)子空間的交、和的基與維數(shù)，掌握維數(shù)公

式及其應(yīng)用

掌握子空間的直和的概念以及幾個(gè)充要條件，會判斷子空間的和是否是直和

理解線性空間同構(gòu)的概念和性質(zhì)，掌握 n 維線性空間按同構(gòu)的分類

（七） 線性變換

掌握線性變換的定義和性質(zhì)

理解線性變換的加法、數(shù)乘、乘法、方冪、逆的定義和性質(zhì)，

掌握線性變換的矩陣的概念，會求線性變換在指定基下的矩陣；掌握在取定基后

線性變換與它們的矩陣的一一對應(yīng)關(guān)系；掌握一個(gè)線性變換在不同基下的矩陣的

關(guān)系；會求一個(gè)向量在線性變換下的像的坐標(biāo)

熟練掌握線性變換（矩陣）的特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式定義及計(jì)算，理解

特征子空間的概念；掌握相似矩陣的概念及其性質(zhì)；理解 Hamilton-Cayley 定理

熟練掌握一個(gè) n 級方陣相似于對角矩陣的條件（充分條件、必要條件、充要條件）；

會求可逆矩陣 T，使得 T

-1AT 為對角矩陣。

理解線性變換的值域、核的概念，會求線性變換值域與核的基、維數(shù)；掌握域與

核的維數(shù)間的關(guān)系

理解線性變換的不變子空間的概念；幾個(gè)常用的不變子空間例子；理解線性變換

的不變子空間分解與線性變換的矩陣為準(zhǔn)對角矩陣的聯(lián)系；理解線性變換的根子

空間分解

（八） λ矩陣

理解λ矩陣與數(shù)字矩陣的區(qū)別與聯(lián)系：子式、行列式、秩、可逆，可逆的充要條

件

理解λ矩陣的初等變換、初等λ矩陣、λ矩陣的等價(jià)的概念和聯(lián)系，會求λ矩陣

的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形

理解λ矩陣的行列式因子、不變因子的概念和聯(lián)系，會求λ矩陣的行列式因子、

不變因子

掌握兩個(gè)矩陣相似的充要條件是它們的特征矩陣等價(jià)，并會由此判斷兩個(gè)矩陣是

否相似

掌握λ矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子聯(lián)系，會求一個(gè)復(fù)矩陣的初等因

子

理解若當(dāng)定理；掌握初等因子與若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形間的對應(yīng)關(guān)系，會求一個(gè)復(fù)矩陣的若

當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，會求可逆矩陣 T，使得 T

-1AT 為若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形；理解最小多項(xiàng)式的概念，

會求最小多項(xiàng)式；會用最小多項(xiàng)式判斷一個(gè)復(fù)矩陣是否相似于對角矩陣

（九） 歐氏空間

理解內(nèi)積、歐氏空間的定義、性質(zhì)和常用例子；理解向量長度、夾角、單位向量、

垂直（正交）的概念；掌握 Cauchy 不等式、勾股定理；掌握度量矩陣的概念和

性質(zhì)

理解正交向量組、正交基、標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，會用度量矩陣判斷正交基、標(biāo)準(zhǔn)

正交基；

理解正交基、標(biāo)準(zhǔn)正交基的存在性，熟練 Schmidt 正交化方法；掌握正交矩陣的

概念、性質(zhì)以及正交矩陣與標(biāo)準(zhǔn)正交基的關(guān)系

理解歐氏空間的同構(gòu)的概念、性質(zhì)，掌握歐氏空間按同構(gòu)的分類

理解正交變換的定義和性質(zhì)；掌握正交變換的幾個(gè)等價(jià)條件，正交變換、標(biāo)準(zhǔn)正

交基、正交矩陣的聯(lián)系；了解兩類正交變換

理解正交子空間、正交補(bǔ)的概念；掌握正交子空間與直和的關(guān)系；掌握正交補(bǔ)的

存在唯一性及構(gòu)成；了解向量在子空間上內(nèi)射影的概念

熟練掌握實(shí)對稱矩陣的特征值、特征向量的性質(zhì)，會求正交矩陣 T，使得 T

-1AT

為對角矩陣；了解歐氏空間中對稱變換、反對稱變換的概念和性質(zhì)；掌握用特征

值判斷實(shí)對稱矩陣為正定矩陣的方法；會用實(shí)對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形去解決問題

四、考試要求

碩士研究生入學(xué)考試科目《高等代數(shù)》為閉卷，筆試，考試時(shí)間為180分鐘，

本試卷滿分為150分。試卷務(wù)必書寫清楚、符號和西文字母運(yùn)用得當(dāng)。答案必須

寫在答題紙上，寫在試題紙上無效。

五、主要參考教材（參考書目）

1.《高等代數(shù)》北京大學(xué)數(shù)學(xué)系王萼芳 石生明修訂，第四版，高等教育出版

社，2013年。

2. 《高等代數(shù)》姚慕生，吳泉水，謝啟鴻，第3版，復(fù)旦大學(xué)出版社，2014年。

編制單位：鄭州大學(xué)

編制日期：2020年8月

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