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數(shù)學(xué)分析701

一．實(shí)數(shù)與函數(shù)

考試內(nèi)容

絕對值與不等式，確界原理，函數(shù)及性質(zhì)

考試要求

理解和掌握鄰域，有界集，上下確界函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)，有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù)，奇

函數(shù)，偶函數(shù)概念。熟練掌握上下確界，復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)的應(yīng)用。

二.極限與連續(xù)

考試內(nèi)容

數(shù)列極限定義，收斂數(shù)列的性質(zhì)單調(diào)有界原理，柯西準(zhǔn)則，函數(shù)極限概念。1， 趨于無窮

大時(shí)的極限。2， 趨于某一定數(shù)時(shí)的極限。函數(shù)極限性質(zhì)。歸結(jié)原理柯西準(zhǔn)則。兩個(gè)重要

極限無窮小量，無窮大量概念。無窮小量階的比較。連續(xù)性概念。連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)。閉

區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。反函數(shù)連續(xù)函數(shù)。一致連續(xù)性指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性。初等函數(shù)連續(xù)

性。區(qū)間套定理，柯西準(zhǔn)則聚點(diǎn)定理，有限覆蓋定理。

考試要求

理解和掌握：數(shù)列極限的定義，數(shù)列極限性質(zhì)的原理及推導(dǎo)。單調(diào)有界原理，柯西準(zhǔn)則及應(yīng)

用。函數(shù)極限的定義。函數(shù)極限存在的歸結(jié)原理連續(xù)性的定義及其證明，間斷點(diǎn)及其分

類。連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。區(qū)間套定理，柯西準(zhǔn)則聚點(diǎn)定理，

有限覆蓋定理原理及證明。閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的原理及證明及應(yīng)用。

熟練掌握數(shù)列極限定義證明，運(yùn)算求極限。函數(shù)極限定義證明，運(yùn)算求極限。函數(shù)極限柯

西準(zhǔn)則及應(yīng)用。兩個(gè)重要極限的計(jì)算， 無窮小量，無窮大量概念，無窮小量階的比較及應(yīng)

用。一致連續(xù)性及應(yīng)用。

三.導(dǎo)數(shù)與微分

考試內(nèi)容

導(dǎo)數(shù)概念，導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)法則與公

式，微分概念，微分的運(yùn)算法則，高階導(dǎo)數(shù)與高階微分，參數(shù)方程的一階及二階導(dǎo)數(shù)。

考試要求

理解和掌握：導(dǎo)數(shù)概念。導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算。反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。求導(dǎo)法則與

公式。微分概念，微分的運(yùn)算法則。高階導(dǎo)數(shù)與高階微分。參數(shù)方程的一階及二階導(dǎo)數(shù)。

四.微積分基本定理，不定式極限，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

考試內(nèi)容

中值定理。不定式極限：1 型極限。2 型極限。3 其他型極限。泰勒公式，皮亞諾余

項(xiàng)泰勒公式。函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)的凸性，拐點(diǎn)。函數(shù)的圖象討論漸進(jìn)線，作圖。

考試要求

理解和掌握： 費(fèi)馬定理，中值定理的原理及應(yīng)用。熟練計(jì)算型極限， 型極限，其他

型極限。熟練掌握泰勒公式，皮亞諾余項(xiàng)泰勒公式原理及應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)

的凸性，拐點(diǎn)。

五.積分

考試內(nèi)容； 原函數(shù)不定積分運(yùn)算法則。換元積分及分步積分法。有理函數(shù)的積分，三角

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函數(shù)的積分。定積分的定義，可積必要及充分條件，可積函數(shù)類。定積分的性質(zhì)原理，微積

分基本定理，換元積分法，分步積分法。非正常積分的定義，性質(zhì)，判別準(zhǔn)則。平面圖形

的面積直角坐標(biāo)，參數(shù)方程的計(jì)算公式。由截面面積求立體體積?；￠L的定義弧長的積

分公式。：旋轉(zhuǎn)曲面的面積。定積分在物理上的應(yīng)用壓力功重心。

考試要求

理解和掌握：不定積分的運(yùn)算法則， 換元積分，分步積分法，有理函數(shù)的積分，三角函數(shù)

的積分。定積分的定義，可積必要及充分條件，可積函數(shù)類。熟練掌握定積分的性質(zhì)原理，

微積分基本定理，換元積分法，分步積分法及應(yīng)用。掌握非正常積分的定義，性質(zhì)，熟練掌

握非正常積分判別準(zhǔn)則。

六．級數(shù)

考試內(nèi)容：級數(shù)的收斂性及發(fā)散。正項(xiàng)級數(shù)。1 一般判別原則。2 比較及根式判別方法。3 積

分判別方法。一般項(xiàng)級數(shù)。1 交錯(cuò)級數(shù)。2 絕對收斂。3 阿貝爾判別法。一致收斂性。1 函

數(shù)列與一致收斂性。2 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。3 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性判別法。一致收

斂性函數(shù)列及函數(shù)項(xiàng)級數(shù)分析性質(zhì)原理。冪級數(shù)。1 冪級數(shù)。2 冪級數(shù)的收斂區(qū)間2。冪級

數(shù)的性質(zhì)3 冪級數(shù)的運(yùn)算。函數(shù)的冪級數(shù)展開。1 泰勒級數(shù)2 冪級數(shù)的展開。

考試要求

理解和熟練掌握：級數(shù)一般判別原則，比較及根式判別方法，積分判別方法原理及使用。交

錯(cuò)級數(shù)， 絕對收斂，阿貝爾判別法，阿貝爾。狄里克里判別法原理及應(yīng)用。函數(shù)列的一致

收斂性，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性判別法原理及應(yīng)用。一致收斂性函數(shù)列及函數(shù)項(xiàng)級數(shù)分析

性質(zhì)原理及應(yīng)用。熟練掌握： 阿貝爾定理，收斂區(qū)間判別方法，冪級數(shù)的分析性質(zhì)，泰勒

級數(shù)，冪級數(shù)的展開原理及應(yīng)用。

七．傅里葉級數(shù)

考試內(nèi)容：三角函數(shù)系，正交函數(shù)系， 為周期的傅里葉級數(shù)， 收斂定理， 為周期的傅里

葉級數(shù)展開，偶函數(shù)與奇函數(shù)的傅里葉級數(shù)。

考試要求

熟練掌握： 為周期的傅里葉級數(shù)展開，收斂定理證明。為周期的傅里葉級數(shù)展開。為

周期的傅里葉級數(shù)，偶函數(shù)與奇函數(shù)的傅里葉級數(shù)。

八.多元函數(shù)的極限與連續(xù)

考試內(nèi)容平面點(diǎn)集，完備性定理，函數(shù)概念，二元函數(shù)的極限，累次極限。連續(xù)性概念，

閉域連續(xù)性的性質(zhì)。

考試要求

掌握平面點(diǎn)集，函數(shù)概念。理解完備性定理。熟練掌握二元函數(shù)的極限的計(jì)算，累次極限

的計(jì)算。熟練掌握連續(xù)性概念，閉域連續(xù)性的性質(zhì)及應(yīng)用。

九.多元函數(shù)的微分學(xué)

考試內(nèi)容：可微性，全微分，偏導(dǎo)數(shù)，可微性條件。復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的全

微分。方向?qū)?shù)與梯度。泰勒公式與極值， 中值定理和泰勒公式，極值問題。隱函數(shù)定理，

隱函數(shù)組定理，隱函數(shù)求導(dǎo)。曲線切線，曲面的法平面。

考試要求

掌握可微性，全微分，偏導(dǎo)數(shù)，可微性條件概念。熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，復(fù)合函

數(shù)的全微分。理解方向?qū)?shù)與梯度概念。熟練掌握：高階偏導(dǎo)數(shù)， 中值定理和泰勒公式， 極

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值的充分及必要條件原理及應(yīng)用。熟練掌握隱函數(shù)， 隱函數(shù)組的求導(dǎo)原理及應(yīng)用。

十.重積分參變量非正常積分曲線積分與曲面積分

考試內(nèi)容：二，三重積分概念，重積分可積條件。累次積分，換元積分，參量積分求導(dǎo)。

曲面面積，重心，轉(zhuǎn)動慣量，引力。含參變量非正常積分判別方法，分析性質(zhì)。歐拉積分

概念及性質(zhì)。第一型曲線積分與第一型曲面積分概念，計(jì)算公式。第二型曲線積分概念，

計(jì)算公式。格林公式，曲線積分與路徑無關(guān)。第二型曲面的側(cè)概念，計(jì)算公式。高斯公式

及原理，斯托克斯公式及原理。

考試要求

掌握： 二重積分概念，二重積分可積條件。三重積分概念。曲面面積，重心，轉(zhuǎn)動慣量，

引力。第一型曲線積分與第一型曲面積分概念。第二型曲線積分概念。

熟練掌握二重積分的計(jì)算：累次積分，換元積分，參量積分求導(dǎo)。三重積分累次積分，換

元積分的計(jì)算。理解和掌握：含參變量非正常積分判別方法，分析性質(zhì)。歐拉積分概念及性

質(zhì)。熟練掌握第一型曲線積分與第一型曲面積分計(jì)算公式，第二型曲線積分計(jì)算公式，第二

型曲面積分計(jì)算公式。格林公式，路徑無關(guān)定理。高斯公式及原理，斯托克斯公式及原理。

參考教材《數(shù)學(xué)分析》（第三版），華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編

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