2021西南石油大學(xué)數(shù)學(xué)分析專業(yè)研究生參考及考試大綱

發(fā)布時(shí)間：2020-11-18 編輯：考研派小莉 推薦訪問(wèn)：
2021西南石油大學(xué)數(shù)學(xué)分析專業(yè)研究生參考及考試大綱

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2021西南石油大學(xué)數(shù)學(xué)分析專業(yè)研究生參考及考試大綱 正文

考試科目名稱：數(shù)學(xué)分析 
一、考試性質(zhì) 
數(shù)學(xué)分析是碩士研究生入學(xué)考試科目之一。本考試大綱的制定力求反映招生
類型的特點(diǎn)，科學(xué)、公平、準(zhǔn)確、規(guī)范地測(cè)評(píng)考生的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)掌握水平，考
生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題及綜合知識(shí)運(yùn)用能力。應(yīng)考人員可根據(jù)本大綱的內(nèi)容和要
求自行學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容和掌握有關(guān)知識(shí)。 
本大綱主要包括一元函數(shù)微分學(xué)和積分學(xué)、多元函數(shù)微分學(xué)和積分學(xué)、無(wú)窮
級(jí)數(shù)、實(shí)數(shù)理論等部分?？忌鷳?yīng)掌握數(shù)學(xué)分析的基本概念，理解數(shù)學(xué)分析的基本
理論，熟練掌握數(shù)學(xué)分析的各種運(yùn)算，理解數(shù)學(xué)分析的基本思想和方法。
二、考試主要內(nèi)容 
（一） 函數(shù)、極限與連續(xù) 
1、考試范圍 
實(shí)數(shù)及其性質(zhì)，確界及確界原理，函數(shù)的概念及有界性、單調(diào)性、周期性和
奇偶性；數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義、性質(zhì)及存在的條件，兩個(gè)重要極限，無(wú)窮
小量和無(wú)窮大量的概念及其關(guān)系，無(wú)窮小量階的比較，曲線的漸近線；一元函數(shù)
連續(xù)和一致連續(xù)的概念，函數(shù)間斷點(diǎn)及其分類，連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，初等函數(shù)的連
續(xù)性。 
2、基本要求 
(1)了解實(shí)數(shù)的概念，理解確界概念、確界原理；理解函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、分
段函數(shù)和初等函數(shù)的概念；了解有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇（偶）函數(shù)、周期函數(shù)。 
(2)理解數(shù)列極限概念，掌握收斂數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)列極限存在的條件。 
(3)理解函數(shù)極限的概念,掌握函數(shù)極限的性質(zhì)；熟練掌握函數(shù)極限的存在條
件和兩個(gè)重要極限；理解無(wú)窮小量的概念，熟練掌握等價(jià)無(wú)窮小量求極限的方法；
了解曲線的漸近線。 
(4)理解和掌握一元函數(shù)連續(xù)和一致連續(xù)的概念及其證明；熟練掌握函數(shù)間
斷點(diǎn)及其分類和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；了解反函數(shù)的連續(xù)性，理解復(fù)合函數(shù)
的連續(xù)性，初等函數(shù)的連續(xù)性。 
（二） 一元函數(shù)微分學(xué) 
1、考試范圍 
導(dǎo)數(shù)和微分的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，
平面曲線的切線和法線；導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函
數(shù)、反函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法，高階導(dǎo)數(shù)；微分中值定理，洛
必達(dá)法則，泰勒公式，函數(shù)單調(diào)性的判別，函數(shù)的極值，函數(shù)圖形的凹凸性、拐
點(diǎn)及漸近線，函數(shù)的最大值與最小值。 
2、基本要求 
(1)理解導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義，掌握單側(cè)導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會(huì)
求平面曲線的切線方程和法線方程。 
(2)熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)
的導(dǎo)數(shù)公式，會(huì)求分段函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 
(3) 理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，掌握萊布尼茲公式，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)；
理解微分和高階微分的概念，會(huì)求函數(shù)的微分。 
 (4)理解和掌握羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式，熟
練掌握用洛必達(dá)法則求未定式值的方法。 
 (5)理解函數(shù)極值的概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，
掌握函數(shù)的最大值和最小值的求法及其應(yīng)用。 
(6)理解凹凸函數(shù)的概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖
形的拐點(diǎn)，了解函數(shù)圖形的描繪。 
（三） 一元函數(shù)積分學(xué) 
1、考試范圍 
原函數(shù)和不定積分的概念，不定積分基本性質(zhì)，基本積分公式，定積分的概
念和基本性質(zhì)，積分中值定理，變限積分及其導(dǎo)數(shù)，牛頓-萊布尼茨公式，不定
積分和定積分的換元積分法與分部積分法，有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡(jiǎn)單
無(wú)理函數(shù)的積分，反常積分及其收斂判別法；平面圖形的面積，旋轉(zhuǎn)體的體積，
平面曲線的弧長(zhǎng)與曲率，旋轉(zhuǎn)曲面的面積。 
2、基本要求 
(1)理解原函數(shù)和不定積分的概念，熟練掌握基本初等函數(shù)的不定積分；熟
練掌握換元積分法與分部積分法；掌握有理函數(shù)、簡(jiǎn)單的無(wú)理函數(shù)與三角有理函
數(shù)的不定積分。 
 (2)理解定積分的概念和可積準(zhǔn)則；掌握常用的可積函數(shù)類、定積分的性質(zhì)
及積分中值定理；理解變限積分的概念與原函數(shù)存在定理。熟練掌握計(jì)算定積分
的牛頓-萊布尼茲公式、換元公式和分部公式。 
(3)掌握用定積分計(jì)算平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、平面曲線的弧長(zhǎng)、
旋轉(zhuǎn)面的面積；了解定積分在物理上的應(yīng)用。 
(4)理解無(wú)窮積分，瑕積分的概念；掌握無(wú)窮積分，瑕積分的性質(zhì)和收斂判
別法。
（四） 多元函數(shù)微分學(xué) 
1、考試范圍 
多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的極限、累次極限與連續(xù)的概念，有界閉域上二
元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分，多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)、隱函
數(shù)組的求導(dǎo)法，空間曲線的切線和法平面，曲面的切平面和法線，多元函數(shù)的極
值和條件極值、最大值和最小值。 
2、基本要求 
(1)了解多元函數(shù)的概念，理解和掌握二元函數(shù)的極限、累次極限、連續(xù)性
概念及其關(guān)系，了解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。 
 (2)理解偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，掌握全微分、偏導(dǎo)數(shù)、連續(xù)之間的關(guān)系；
熟練掌握偏導(dǎo)數(shù)和全微分的計(jì)算，會(huì)用可微的定義判斷多元函數(shù)是否可微；熟練
掌握復(fù)合函數(shù)微分的計(jì)算。 
 (3)了解方向?qū)?shù)和梯度的概念及其相互關(guān)系；理解二元函數(shù)極值的必要和
充分條件，掌握二元函數(shù)極值的計(jì)算。 
(4)了解隱函數(shù)的存在條件與結(jié)論，掌握隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法；了解隱函數(shù)組
的概念及隱函數(shù)組定理，掌握隱函數(shù)組偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。 
(5)掌握曲線的切線方程和法平面方程，曲面的切平面方程和法線方程的求
法；熟練掌握條件極值的計(jì)算，會(huì)求多元函數(shù)的最大值和最小值。 
（五） 多元函數(shù)積分學(xué) 
1、考試范圍 
 含參量正常積分的概念及其性質(zhì)，含參量反常積分一致收斂性概念、性質(zhì)及
其判別方法；二重積分與三重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算和應(yīng)用；兩類曲線積分的
概念、性質(zhì)及計(jì)算，兩類曲線積分的關(guān)系，格林公式，平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)
的條件，二元函數(shù)全微分的原函數(shù)；兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算，兩類曲
面積分的關(guān)系，高斯公式，斯托克斯公式。 
2、基本要求 
(1)掌握含參量正常積分的概念及其性質(zhì)；理解含參量反常積分一致收斂性
概念和性質(zhì)；熟練掌握含參量反常積分一致收斂性的判別方法；了解歐拉積分。 
(2)理解二重積分和三重積分的概念和性質(zhì)，熟練掌握二重積分和三重積分
的計(jì)算。 
(3)理解兩類曲線積分的概念和性質(zhì)，掌握兩類曲線積分的計(jì)算；了解兩類
曲線積分的關(guān)系，熟練掌握格林公式的應(yīng)用, 會(huì)運(yùn)用曲線積分與路徑的無(wú)關(guān)性，
會(huì)求二元函數(shù)全微分的原函數(shù)。 
(4)理解兩類曲面積分的概念和性質(zhì)，掌握兩類曲面積分的計(jì)算；了解兩類
曲面積分的關(guān)系；熟練掌握高斯公式的應(yīng)用，會(huì)用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分。 
(5)了解曲面的面積、物體的重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與引力的計(jì)算。 
（六） 無(wú)窮級(jí)數(shù) 
1、考試范圍 
常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念，級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件，柯西準(zhǔn)
則；正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理，任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收
斂與條件收斂；函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的概念，一致收斂函數(shù)列與函數(shù)
項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性判別法；冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、
收斂區(qū)間和收斂域，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式；函數(shù)的傅里葉系數(shù)
與傅里葉級(jí)數(shù)，收斂定理及其證明，函數(shù)在[ , ] ?l l 上的傅里葉級(jí)數(shù)，函數(shù)在[0, ]l 上
的正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)。 
2、基本要求 
(1)理解數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的定義和收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握掌握判別正項(xiàng)
級(jí)數(shù)斂散性的各種方法，理解收斂級(jí)數(shù)、絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)和條件收斂級(jí)數(shù)的關(guān)系；
掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法。 
(2)理解函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的概念；掌握一致收斂函數(shù)列與函
數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的連續(xù)性，可積性，可微性；掌握函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的柯西
準(zhǔn)則、維爾斯特拉斯判別法、狄利克雷判別法和阿貝爾判別法。 
 (3)理解冪級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)，熟練掌握冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂范圍及和函
數(shù)的求法； 掌握泰勒級(jí)數(shù)和麥克勞林展開(kāi)公式，五種基本初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展
開(kāi)。 
(4)理解三角函數(shù)系的正交性與函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的概念，掌握傅里葉級(jí)數(shù)
的收斂定理；掌握以2l 與2? 為周期的函數(shù)展開(kāi)式，偶函數(shù)和奇函數(shù)的傅里葉的
展開(kāi)，正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)；了解收斂定理的證明。 
（七） 實(shí)數(shù)理論 
1、考試范圍 
區(qū)間套定理，聚點(diǎn)定理，有限覆蓋定理及其證明。 
2、基本要求 
 (1)理解區(qū)間套定理，聚點(diǎn)定理，有限覆蓋定理的條件和結(jié)論。 
 (2)了解區(qū)間套定理，聚點(diǎn)定理，有限覆蓋定理的證明思路。 
三、考試形式和試卷結(jié)構(gòu) 
1、考試時(shí)間和分值 
考試時(shí)間為 180 分鐘，試卷滿分為 150 分。 
2、考試題型結(jié)構(gòu) 
（1）計(jì)算題：根據(jù)題目?jī)?nèi)容完成相應(yīng)的求解，要求給出具體計(jì)算過(guò)程。 
（2）討論題：根據(jù)題目要求討論其描述問(wèn)題是否正確，要求給出具體討論過(guò)程。 
（3）證明題：根據(jù)題目要求證明其描述問(wèn)題的正確性，要求給出具體證明過(guò)程。 
四、參考書目 
1、《數(shù)學(xué)分析》（第四版），華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社，2011 
西南石油大學(xué)

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