考試科目代碼：951 考試科目名稱: 高等代數(shù)

考試內(nèi)容范圍:

一、一元多項(xiàng)式

1.一元多項(xiàng)式的定義和基本運(yùn)算；

2.多項(xiàng)式的帶余除法與綜合除法，多項(xiàng)式整除性的常用性質(zhì)；

3.多項(xiàng)式的最大公因式概念及性質(zhì)，輾轉(zhuǎn)相除法；

4.不可約多項(xiàng)式的概念及性質(zhì)，多項(xiàng)式的唯一因式分解定理，多項(xiàng)式的重因式；

5.多項(xiàng)式函數(shù)與多項(xiàng)式的根的概念及性質(zhì)；

6.代數(shù)基本定理，復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解定理；

7.整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根，Eisenstein 判別法。

二、行列式

1.線性方程組和行列式的關(guān)系，逆序數(shù)、排列、n 階行列式定義，子式和代數(shù)余子式定義；

2 利用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式

3.行列式依行依列展開；

4.克拉默法則。

三、線性方程組

1.利用消元法求解線性方程組；

2.矩陣的秩的概念，用矩陣的初等變換求秩；

3.線性方程組可解的判別法。

四、矩陣

1.矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置及其運(yùn)算法則；

2.逆矩陣概念，矩陣可逆的判定條件及可逆矩陣的性質(zhì)，求可逆矩陣的方法；

3.矩陣的分塊法，分塊矩陣的運(yùn)算法則。

五、 向量空間

1.向量空間及子空間的定義；

2.向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的定義，向量組線性相關(guān)性的判定條件和性質(zhì)，向量組的極大無(wú)關(guān)組；

3.向量空間的基與維數(shù)，過(guò)渡矩陣及坐標(biāo)變換公式；

4.向量空間的同構(gòu)及其性質(zhì)；

5.矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系及計(jì)算；

6.齊次線性方程組的解空間與基礎(chǔ)解系；線性方程組的結(jié)構(gòu)式通解。

六、 線性變換

1.線性映射的概念及其相關(guān)性質(zhì)，線性映射與矩陣的關(guān)系；

2.線性變換的概念及其相關(guān)性質(zhì)，線性變換與矩陣的關(guān)系；

3.不變子空間及其性質(zhì)；

4.線性變換的本征值和本征向量、方陣的特征值和特征向量；

5.可以對(duì)角化的矩陣。

七、 歐氏空間

1.向量空間中向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度、夾角的定義及性質(zhì)；

2.規(guī)范正交基，Schmidt 正交化方法；

3.正交變換與正交矩陣的定義和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換與鏡面反射變換的定義及性質(zhì)；

4.正交補(bǔ)空間的定義及性質(zhì)，正射影的定義及計(jì)算；

5.對(duì)稱變換的定義和性質(zhì)，實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)，實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化。

八、 二次型

1.二次型與對(duì)稱矩陣，矩陣的合同關(guān)系；

2.復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的二次型，慣性定理；

3.利用配方法、初等變換、正交變換方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型；

4.正定二次型與正定矩陣的定義及性質(zhì)，實(shí)對(duì)稱矩陣正定的判定條件；

5.半正定二次型與半正定矩陣的定義及性質(zhì)，實(shí)對(duì)稱矩陣半正定的判定條件。

參考書目：

1.張禾瑞，郝鈵新，《高等代數(shù)》（第五版），高等教育出版社，2007 年

2.北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組，《高等代數(shù)》（第四版），高等教育出版社，2013 年

3.李師正，《高等代數(shù)解題方法與技巧》，高等教育出版社，2004 年

4.楊子胥，《高等代數(shù)習(xí)題解（上下冊(cè)）》，山東科學(xué)技術(shù)出版社，2015 年

考試總分：150 分 考試時(shí)間：3 小時(shí) 考試方式：筆試

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