2021中國(guó)科學(xué)院大學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)綜合專(zhuān)業(yè)研究生考試大綱 正文

中國(guó)科學(xué)院大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試
《數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)綜合》考試大綱
本《數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)綜合》考試大綱適用于中國(guó)科學(xué)院大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試。所涉及的復(fù)分析、拓?fù)浠A(chǔ)、實(shí)分析、代數(shù)、微分幾何以及概率論都是大學(xué)數(shù)學(xué)系本科學(xué)生最基本的課程，也是大多數(shù)理工科專(zhuān)業(yè)學(xué)生的必修基礎(chǔ)課。要求考生熟悉復(fù)分析、拓?fù)浠A(chǔ)、實(shí)分析、代數(shù)、微分幾何以及概率論等課程的基本概念、掌握基本定理、有較強(qiáng)的運(yùn)算能力和綜合分析解決問(wèn)題能力。
一、考試的基本要求
要求考生比較系統(tǒng)地理解復(fù)分析、拓?fù)浠A(chǔ)、實(shí)分析、代數(shù)、微分幾何以及概率論等課程的基本概念和基本理論，掌握相應(yīng)的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
二、考試方法和考試時(shí)間
數(shù)學(xué)綜合考試采用閉卷筆試形式，試卷滿(mǎn)分為150分，考試時(shí)間為180分鐘。
《數(shù)學(xué)綜合考試試卷》試題分成六個(gè)部分，每一部分試題的分值和為90分，總值為540分。考生需在540分的試題中任意選做分值和不超過(guò)150分的試題并明確標(biāo)示。如果選做試題的分值和超過(guò)150分，判卷將按照所選做試題的題號(hào)順序依次判卷直到所做題目分值和超過(guò)150分題目的前一題，后面所做試題視作無(wú)效考試內(nèi)容。
三、 考試內(nèi)容
（一） 復(fù)分析
1． 復(fù)數(shù)
2． 復(fù)函數(shù)
3． 解析函數(shù)的幾何性質(zhì)
4． 復(fù)積分
5． 級(jí)數(shù)與乘積展開(kāi)
6． 共性映射與Dirichlet問(wèn)題
7． 橢圓函數(shù)(簡(jiǎn)單介紹)
（二） 拓?fù)浠A(chǔ)
1． 引論. Euler定理，拓?fù)涞葍r(jià)， 曲面，抽象空間，一個(gè)分類(lèi)定理，拓?fù)洳蛔兞俊?br /> 2． 拓?fù)淇臻g及連續(xù)映射. 開(kāi)集與閉集，連續(xù)映射，充滿(mǎn)空間的曲線(xiàn)，Tietze擴(kuò)張定理
3． 拓?fù)淇臻g的緊致性與連通性. 歐氏空間的有界閉集，Heine Borel定理，緊致空間，乘積空間，連通性道路連通性
4． 粘合空間. Mbius帶的制作，粘合拓?fù)?，拓?fù)淙海壍揽臻g
5． 拓?fù)淇臻g的基本群. 同倫映射，拓?fù)淇臻g的基本群，計(jì)算，同倫型，Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理，平面的分離，曲面的邊界，復(fù)疊空間及其基本性質(zhì)
6． 單純剖分. 空間的單純剖分，重心重分，單純逼近，復(fù)形的棱道群，軌道空間的單純剖分
7． 曲面. 分類(lèi)，單純剖分與定向，Euler示性數(shù)，剜補(bǔ)運(yùn)算，曲面符號(hào)
8． 單純同調(diào). 閉鏈與邊緣，同調(diào)群，單純映射，輻式重分，不變性
9． 映射度與Lefschetz數(shù). 球面的連續(xù)映射，Euler Poincaré公式，Borsuk Ulam定理，Lefschetz不動(dòng)點(diǎn)定理
（三） 實(shí)分析
1. 抽象積分. 可測(cè)函數(shù)、簡(jiǎn)單函數(shù)及可積函數(shù)的基本概念，測(cè)度的基本性質(zhì)，函數(shù)列的收斂性，勒貝格單調(diào)收斂定理，F(xiàn)atou引理，控制收斂定理。
2. 正博雷爾（Borel）測(cè)度. 拓?fù)渲械幕靖拍?，Riesz表示定理，Borel 測(cè)度的正則性，Lebesgue 測(cè)度，可測(cè)函數(shù)的連續(xù)性，Lusin（魯金） 定理。
3. 空間. 凸函數(shù)，Jensen（詹森） 不等式， 空間中的重要不等式：如Holder 不等式，Minkowski 不等式， 函數(shù)列中的范數(shù)收斂與依測(cè)度收斂以及幾乎處處收斂之間的關(guān)系。
4. Hilbert空間的初等理論. 內(nèi)積，平行四邊形法則，投影定理，正交基，傅立葉級(jí)數(shù)。
5. Banach空間技巧的例子. 賦范空間，貝爾定理及其推論， Hahn-Banach定理，Poisson 積分。
6. 復(fù)測(cè)度. 全變差，絕對(duì)連續(xù)性，Radon-Nikodym(拉東-尼柯迪姆) 定理極其推論, 空間上的有界線(xiàn)性泛函。
7. 微分. 測(cè)度的導(dǎo)數(shù)，Hardy-Littlewood 極大函數(shù)，微積分基本定理，可微變換。
8. 乘積空間的積分. 乘積空間的測(cè)度，F(xiàn)ubini定理，乘積測(cè)度的完備化，卷積，分布函數(shù)。
（四） 代數(shù)
1. 群論
2. 環(huán)與代數(shù)、模論
3. 范疇論初步、泛代數(shù)
4. 域論與Galois理論
5. 表示理論基礎(chǔ)
（五） 微分幾何
1. 空間區(qū)域的幾何坐標(biāo)系. 歐氏空間，黎曼和偽黎曼空間，歐氏空間的變換群，弗萊納公式，偽歐幾里德空間
2. 曲面論. 空間曲面的幾何，第二基本型，球面的度量，偽歐幾里德空間中的類(lèi)空曲面，幾何中的復(fù)語(yǔ)言，解析函數(shù)，曲面度量的共形形式
3. 高斯映射的幾何. 高斯映射以及基本性質(zhì)，局部坐標(biāo)下的高斯映射，向量場(chǎng)，極小曲面
4. 內(nèi)蘊(yùn)幾何. 等距，共形變換，測(cè)地線(xiàn)，平行移動(dòng)，指數(shù)映射，測(cè)地極坐標(biāo)
5. 變分法. 一維變分問(wèn)題，守恒定律，哈密頓系統(tǒng)，相空間的幾何理論，測(cè)地方程的二階變分
（六） 概率論
1. 隨機(jī)事件與概率. 隨機(jī)現(xiàn)象與統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，樣本空間，隨機(jī)事件及其運(yùn)算，古典概率，幾何概率，概率空間，概率的公理化結(jié)構(gòu)
2. 條件概率與事件的獨(dú)立性. 條件概率與乘法公式，全概率公式，Bayes公式，事件的獨(dú)立性，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，Bernoulli試驗(yàn)
3. 隨機(jī)變量及其分布. 隨機(jī)變量及其分布（離散型，連續(xù)型），多維隨機(jī)變量及其分布（離散型，連續(xù)型），條件分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性，隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布
4. 隨機(jī)變量的數(shù)字特征. 數(shù)學(xué)期望與方差，矩，協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)，熵與信息量，條件期望與最優(yōu)預(yù)測(cè)，母函數(shù)，Laplace變換, 矩母函數(shù)，特征函數(shù)
5. 極限定理. 隨機(jī)變量的收斂性，弱大數(shù)定律，強(qiáng)大數(shù)定律，中心極限定理
6. 隨機(jī)過(guò)程初步. 隨機(jī)過(guò)程及其有限維分布族，獨(dú)立增量過(guò)程, 平穩(wěn)增量過(guò)程，二階矩過(guò)程，正交增量過(guò)程，Gauss過(guò)程, Brown運(yùn)動(dòng)，Poisson過(guò)程，離散時(shí)間Markov鏈初步，平穩(wěn)過(guò)程及其遍歷論初步
7. 隨機(jī)模擬. Monte Carlo方法與隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生，隨機(jī)變量的模擬(離散型，連續(xù)型)，Markov鏈的模擬，積分的近似計(jì)算
四、主要參考書(shū)目
1. 《復(fù)分析》原書(shū)第三版，Lars V. Ahlfors，機(jī)械工業(yè)出版社。
2. 《基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)》，M.A.Armstrong ，孫以豐譯，北京大學(xué)出版社。
3. 《Real and Complex Analysis》，Walter Rudin.《實(shí)分析與復(fù)分析》(英文版第3版)，機(jī)械工業(yè)出版社，2006。
4. 《代數(shù)學(xué)引論》第三卷（第二版），柯斯特利金，高等教育出版社，2007。
5. 《現(xiàn)代幾何學(xué)：方法與應(yīng)用（第一卷）---曲面幾何，變換群與場(chǎng)》，杜布洛文，諾維可夫，福明柯，高等教育出版社。
6. 《A First Course in Probability》(9th Ed.), Sheldon M.Ross ,Pearson, 2012. 中文版《概率論基礎(chǔ)教程》為童行偉，梁寶生譯，機(jī)械工業(yè)出版社，2014。
                                                            編制單位：中國(guó)科學(xué)院大學(xué)
編制日期：2019年6月26日

中國(guó)科學(xué)院大學(xué)

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