碩士研究生招生考試業(yè)務課考試大綱

考試科目： 高等代數(shù) 科目代碼： 851

一、考試目的和要求

要求考生全面系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，熟練掌握高等代

數(shù)的基本思想和基本方法。要求考生具有較強的抽象思維能力、邏輯推理能力、

數(shù)學運算能力以及綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力。

二、 考試方式

閉卷。

三、考試題型

填空題、計算題、證明題等。

四、考試知識點

（一）多項式

1．多項式的帶余除法及整除性、最大公因式、互素多項式；

2．不可約多項式、因式分解唯一性定理、重因式、復系數(shù)與實系數(shù)多項式的因

式分解、有理系數(shù)多項式不可約的判定；

3．多項式函數(shù)與多項式的根、代數(shù)基本定理、有理系數(shù)多項式的有理根的求法、

根與系數(shù)的關系。

（二）行列式

1．行列式的定義及性質，行列式的子式、余子式及代數(shù)余子式；

2．行列式按一行、列的展開定理、Cramer 法則、Laplace 定理和行列式乘法定理、

Vandermonde 行列式；

3．運用行列式的性質及展開定理等計算行列式。（三）線性方程組

1．Gauss 消元法與初等變換；

2．向量組的線性相關性、向量組的秩與極大線性無關組、矩陣的秩；

3．線性方程組有解的判別定理與解的結構。

（四）矩陣

1．矩陣的基本運算、矩陣的分塊及常用分塊方法；

2．矩陣的初等變換、初等矩陣、矩陣的等價、矩陣的跡、方陣的多項式；

3．逆矩陣、矩陣可逆的條件及與矩陣的秩和初等矩陣之間的關系，伴隨矩陣及

其性質；

4．運用初等變換法求矩陣的秩及逆矩陣。

（五）二次型理論

1．二次型及其矩陣表示、矩陣的合同、二次型的標準形與規(guī)范形、慣性定理；

2．實二次型在合同變換下的規(guī)范形以及在正交變換下的特征值標準型的求法；

3．實二次型或實對稱矩陣的正定、半正定、負定、半負定的定義、判別法及其

應用。

（六）線性空間

1．線性空間、子空間的定義與性質，向量組的線性相關性，線性（子）空間的

基、維數(shù)、向量關于基的坐標，基變換與坐標變換，線性空間的同構；

2．子空間的基擴張定理，生成子空間，子空間的和與直和、維數(shù)公式；

3．一些常見的子空間，如線性方程組的解空間、矩陣空間、多項式空間、函數(shù)

空間。

（七）線性變換

1．線性變換的定義、性質與運算，線性變換的矩陣表示，矩陣的相似、同一個

線性變換關于不同基的矩陣之間的關系；

2．矩陣的特征多項式與最小多項式及其性質、線性變換及其矩陣的特征值和特

征向量的概念和計算、特征子空間、實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質；

3．線性變換的不變子空間、核、值域的概念、關系及計算；4．Hamilton-Caylay 定理、矩陣可相似對角化的條件與方法、線性變換矩陣的化

簡、Jardan 標準形。

（八）λ-矩陣

1．λ-矩陣的初等變換、標準型，λ-矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子

及三種因子之間的關系；

2．λ-矩陣的等價與數(shù)字矩陣的相似；

3．Jordan 標準形的的理論推導。

（九）歐氏空間

1．內積與歐氏空間的定義及性質，向量的長度、夾角、距離，正交矩陣，歐氏

空間的同構，正交子空間與正交補；

2．歐氏空間的度量矩陣、標準正交基、線性無關向量組的 Schmidt 正交化方法；

3．正交變換與正交矩陣的等價條件，對稱變換的概念與性質；

4．實對稱矩陣的正交相似對角化的求法。

參考教材：

北京大學數(shù)學系．高等代數(shù)(第四版）．北京:高等教育出版社.2013 年 8 月

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