2021南通大學數(shù)學分析專業(yè)研究生考研考試大綱

發(fā)布時間：2020-10-23 編輯：考研派小莉 推薦訪問：
2021南通大學數(shù)學分析專業(yè)研究生考研考試大綱

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2021南通大學數(shù)學分析專業(yè)研究生考研考試大綱 正文

培養(yǎng)單位:  理學院                          2020 年  7 月
科目名稱 數(shù)學分析 科目代碼  
考試范圍及要點
本考試大綱適用于報考南通大學理學院應用數(shù)學專業(yè)碩士研究生的考生。本科目要求學生比較系統(tǒng)的理解數(shù)學分析的基本概念，掌握基數(shù)學分析的基本理論，基本思想和方法，具有一定的應用微積分的基本理論與方法解決實際問題的能力，為進一步的學習與科研奠定堅實的基礎。
本科目的考試范圍及要點：
一、極限與連續(xù)
1. 實數(shù)，數(shù)集的確界
2. 函數(shù)的概念，初等函數(shù)
3. 數(shù)列極限與函數(shù)極限
4. 無窮大與無窮小
5. 函數(shù)的連續(xù)與一致連續(xù)性
6. 實數(shù)完備性定理
要點： 1. 理解和掌握絕對值不等式，會解絕對值不等式；握函數(shù)的概念和表示方法，會求函數(shù)的定義域和值域，認識初等函數(shù)。
2. 理解和掌握數(shù)列與函數(shù)極限的概念，會使用、與語言證明數(shù)列的極限； 掌握極限的基本性質、運算法則，并能運用它們計算極限；會用單調(diào)有界原理和夾逼法則證明數(shù)列極限的存在，會使用海涅歸結原理證明函數(shù)極限不存在；了解無窮小量和無窮大量的概念性質和運算法則, 會比較無窮小量與無窮大量的階；掌握兩個重要極限并能利用它們來求極限；了解單側極限的概念以及求法。
3. 理解與掌握函數(shù)連續(xù)性、一致連續(xù)性的定義以及它們的區(qū)別和聯(lián)系，會證明具體函數(shù)的連續(xù)以及一致連續(xù)性；理解與掌握函數(shù)間斷點的分類；能正確敘述并簡單應用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質；了解反函數(shù)、復合函數(shù)以及初等函數(shù)的連續(xù)性。
4. 理解和掌握上、下確界的定義，會求具體數(shù)集的上、下確界；理解和掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質及其證明；能正確敘述實數(shù)完備性六大定理的內(nèi)容及其證明思想，了解上、下極限的概念和性質，會使用開覆蓋以及區(qū)間套進行簡單證明。
二、一元函數(shù)微分學
1. 導數(shù)的概念與幾何意義
2. 求導公式，求導法則
3. 高階導數(shù)
4. 微分
5. 微分中值定理
6. L’Hospital 法則
7. Taylor 公式
8. 應用導數(shù)研究函數(shù)
要點：1. 能熟練地運用導數(shù)的運算性質和求導法則求具體函數(shù)的（高階）導數(shù)和微分；理解和掌握可導與可微、可導與連續(xù)的概念及其相互關系；掌握左、右導數(shù)的概念以及分段函數(shù)求導方法。
2. 理解和掌握中值定理的內(nèi)容、證明及其應用；了解泰勒公式及在近似計算中的應用，能夠寫出某些函數(shù)的泰勒多項式。
3. 理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性，會使用這些性質求函數(shù)的極值點以及拐點；能根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、拐點、漸近線等進行作圖；能熟練地運用洛必達法則求未定式的極限。
三、一元積分學
1. 不定積分
2. 定積分的概念、性質與計算
3. 定積分的應用
4. 反常積分
要點：1. 理解和掌握原函數(shù)和不定積分概念以及它們的關系；熟記不定積分基本公式，掌握換元積分法、分部積分法，會求初等函數(shù)、有理函數(shù)、三角函數(shù)的不定積分。
2. 理解和掌握定積分概念、可積的條件以及可積函數(shù)類；能熟練運用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法求定積分。
3. 理解和掌握"微元法"；掌握定積分的幾何應用；了解定積分的物理應用。
4. 理解和掌握反常積分的收斂、發(fā)散、絕對收斂與條件收斂的概念；掌握反常積分的柯西收斂準則，會判斷某些反常積分的斂散性。
四、級數(shù)
1. 數(shù)項級數(shù)的斂散性與性質
2. 函數(shù)項級數(shù)與一致收斂性
3. 冪級數(shù)
要點：1. 理解和掌握正項級數(shù)的收斂判別法以及交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法；掌握一般項級數(shù)的阿貝爾判別法與狄利克雷判別法；了解絕對收斂和條件收斂的概念和性質。
2. 理解和掌握一致收斂的概念、性質及其證明；能夠熟練地運用M-判別法判斷一些函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性。
3. 理解和掌握冪級數(shù)的概念，會求冪級數(shù)的和函數(shù)以及它的收斂半徑、收斂區(qū)間與收斂域；掌握冪級數(shù)的性質以及兩種將函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法，會把一些函數(shù)直接或者間接展開成冪級數(shù)。
五、多元微分學
1. 多元函數(shù)的極限
2. 多元函數(shù)的連續(xù)性
3. 偏導數(shù)全微分
4. 隱函數(shù)定理
5. 方向導數(shù)與梯度
6. 多元微分學的幾何應用
7. 多元函數(shù)的極值
要點：1. 理解和掌握二元函數(shù)的二重極限、累次極限的概念以及它們之間的關系，會計算一些簡單的二元函數(shù)的二重極限和累次極限；掌握平面點集內(nèi)點、聚點與邊界點的概念； 認識平面上的開集、閉集、有界集與區(qū)域等特殊點集，了解閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質。
2. 理解和掌握偏導數(shù)、全微分、方向導數(shù)與梯度的概念及其計算；掌握多元函數(shù)可微、可偏導和連續(xù)之間的關系；會求空間曲線的切線與法平面以及空間曲面的切平面和法線；會求函數(shù)的極值與最值，會用Lagrange乘數(shù)法求條件極值。
3. 了解隱函數(shù)的概念及隱函數(shù)存在定理，會求隱函數(shù)的導數(shù)；了解Jacobi行列式的性質。
六、多元積分學
1. 二重積分的概念與性質
2. 二重積分的計算
3. 三重積分及其計算
4. 含參變量的正常積分和反常積分
5. 曲線積分與Green 公式
6. 曲面積分
7. Gauss 公式與Stokes 公式，曲線線積分與路徑無關
要點：1. 理解和掌握二重、三重積分的各種積分方法和特點，會選擇最合適的方法進行積分；掌握并合理運用重積分的對稱性簡化計算；了解柱面坐標和球面坐標體積元素的推導。
2. 理解和掌握積分號下求導的方法； 掌握函數(shù)、 函數(shù)的性質及其相互關系；了解含參變量反常積分的一致收斂性以及一致收斂的判別法。
3. 理解和掌握兩類曲線積分與曲面積分的概念、性質與計算；熟練掌握格林公式、高斯公式的證明并能利用它們求一些曲線積分和曲面積分；了解兩類曲線積分及曲面積分的區(qū)別和聯(lián)系； 會判斷曲線線積分是否與路徑無關，并能熟練利用曲線線積分與路徑無關的特征進行計算；了解斯托克斯公式，會計算向量場的散度與旋度。
 
試題結構：
  試卷分值：150分，其中計算與解答題占70分，證明題占80分
參考書目名稱 編者 出版單位 版次 年份
數(shù)學分析（上、下冊） 華東師范大學數(shù)學系 高等教育出版社 第四版 2010
數(shù)學分析（上、下冊） 陳紀修 高等教育出版社 第二版 2003
 
南通大學

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