南京信息工程大學(xué)碩士研究生招生入學(xué)考試

    考試大綱

    科目代碼：602

    科目名稱：數(shù)學(xué)單獨(dú)考試

    第一部分目標(biāo)與基本要求

    要求考生比較系統(tǒng)的理解高等數(shù)學(xué)的基本概念和基本理論，掌握高等數(shù)學(xué)的基本方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識分析問題和解決問題的能力。

    第二部分內(nèi)容與考核目標(biāo)

    一、函數(shù)、極限、連續(xù)

    1．理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，并會(huì)建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。

    2．了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性。

    3．理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。

    4．掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念。

    5．理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。

    6．了解極限的性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則。

    7．掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。

    8．理解無窮小、無窮大的概念，會(huì)用無窮小的比較方法，掌握等價(jià)無窮小求極限的方法。

    9．理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。

    10．了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。

    二、一元函數(shù)微分學(xué)

    1．理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。

    2．掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分。

    3．了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。

    4．會(huì)求分段函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)。

    5．會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

    6．理解并會(huì)用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解并會(huì)用柯西中值定理和泰勒定理。

    7．理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應(yīng)用。

    8．會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形。

    9．掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。

    三、一元函數(shù)積分學(xué)

    1．理解原函數(shù)概念，理解不定積分和定積分的概念。

    2．掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法。

    3．會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡單無理函數(shù)的積分。

    4．理解積分上限的函數(shù)，會(huì)求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓一萊布尼茨公式。

    5．了解廣義積分的概念，會(huì)計(jì)算廣義積分。

    6．掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積、平行截面面積為已知的立體體積）等。

    四、向量代數(shù)和空間解析幾何

    1.理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示。

    2．掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積），了解兩個(gè)向量垂直、平行的條件。

    3．理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法。

    4．掌握平面方程和直線方程及其求法。

    5．會(huì)求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問題。

    6．會(huì)求點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離。

    7.了解曲面方程和空間曲線方程的概念。

    8.了解常用二次曲面的方程及其圖形，會(huì)求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。

    9.了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程.了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求該投影曲線的方程。

    五、多元函數(shù)微分學(xué)

    1．理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義。

    2．了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

    3．理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。

    4．理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計(jì)算方法。

    5．掌握多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法。

    6．了解隱函數(shù)存在定理，會(huì)求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。

    7．了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們的方程。

    8．理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡單的應(yīng)用問題。

    六、多元函數(shù)積分學(xué)

    1．理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理。

    2．掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)），會(huì)計(jì)算三重積分（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）。

    3．理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。

    4．掌握計(jì)算兩類曲線積分的方法。

    5．掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會(huì)求全微分的原函數(shù)。

    6．了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，掌握計(jì)算兩類曲面積分的方法，會(huì)用高斯公式、斯托克斯公式計(jì)算曲面、曲線積分。

    7．了解散度與旋度的概念，并會(huì)計(jì)算。

    8．會(huì)用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力、功及流量等）。

    七、無窮級數(shù)

    1．理解常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。

    2．掌握幾何級數(shù)與p級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。

    3．掌握正項(xiàng)級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法。

    4．掌握交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茨判別法。

    5.了解任意項(xiàng)級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與條件收斂的關(guān)系。

    6．了解函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。

    7．理解冪級數(shù)的收斂半徑的概念、并掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。

    8．了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分），會(huì)求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和。

    9．了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。

    10．掌握、、、及的麥克勞林展開式，會(huì)用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。

    11．了解傅里葉級數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會(huì)將定義在上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，會(huì)將定義在上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)，會(huì)寫出傅里葉級數(shù)的和的表達(dá)式。

    八、常微分方程

    1．了解微分方程及其解、階、通解、初始條件和特解等概念。

    2．掌握變量可分離的方程及一階線性方程的解法。

    3．會(huì)解齊次方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡單的變量代換解某些微分方程。

    4.會(huì)用降階法解下列形式的微分方程：

    。

    5．理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。

    6．掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。

    7．會(huì)解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。

    第三部分有關(guān)說明與實(shí)施要求

    1、基本要求：掌握微積分、空間解析幾何和常微分方程的基本知識（基本概念、基本理論和常用的運(yùn)算方法），具備比較熟練的運(yùn)算能力、抽象思維和形象思維能力，正確領(lǐng)會(huì)一些重要的數(shù)學(xué)思想方法。

    2、命題說明：（1）分值比例——試卷滿分為150分，考試時(shí)間180分鐘。試卷題目分易、較易、較難、難四級，分值比例一般為2：3：3：2。（2）題型分布——選擇題，約17%；填空題，約17%；計(jì)算與證明題，約66%。

    3、參考書目:《高等數(shù)學(xué)》（第七版）同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編高等教育出版社

    4、其他規(guī)定：考試方式為閉卷筆試。

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